√の中に√がある場合。

質問

（問題）
√14-5√3を簡単にしなさい。
※パソコン上では、表現しづらいですが、√14の√の範囲は14から5√3まで入っています。

答えは　5√2-√6/2　です。

・√からどのように変形していったのでしょうか？
・何故答えが分数になっているのでしょうか？
など、どう答えが導き出されたのか、見当もつかない状態です。基本を調べようにも教科書はもう手元には無く、問題集なので解説は掲載されていません。皆様からの解説が頼りです。宜しくお願い致します。

回答No.3

debut · ベストアンサー

二重根号のはずしかたは
　√{(ａ＋ｂ)－２√(ａｂ)}＝√ａ－√ｂ（ただしａ＞ｂ）を使います。
　これは、(√ａ－√ｂ)^2＝ａ＋ｂ－２√(ａｂ)　で両辺の平方根を考え
　て出てきます。

　√(14－５√３)　を√{(ａ＋ｂ)－２√(ａｂ)}　の形にするため、次の
　ような変形をします。
　　全体を２倍して２で割る
　　　√{(28－10√３)/２}
　　10=2×5だから、5を２乗して√３の中に入れる（25×３をする）
　　また、分子と分母をそれぞれ√(20－２√75)と√２に分ける
　　　√{(28－２√75)/２}＝√(20－２√75)/√２
　　20－２√75は先ほどの√の中の(ａ＋ｂ)－２√(ａｂ)のことなので
　　ａ＋ｂが20で、ａ×ｂが75となる数ａ，ｂ（ただしａ＞ｂ）を
　　求める。→ａ＝25，ｂ＝３。
　　ここで、最初にあげた公式を使うと、分子は√25－√３＝５－√３と
　　外側の√がなくなり、式は
　　　(５－√３)/√２
　　あとは分子・分母に√２をかけて分母の有理化をすれば
　　答えの式が得られます。

補足

ありがとうございました。
debutさんの解説をたどり、無事答えが出せました。
ところで、√の前の係数は何故「２」なのでしょうか？公式に入れれば、答えは出ますが、気になったものですから。ここまで教えていただいて、また質問というのも気がひけますが、よろしければ教えてください。

回答No.7

murakkusu

係数が２になる理由について

公式は以下のとおりです
√(a+b)+2√ab=√a＋√b・・・・(1)

証明。
左辺の√の中身を変形する

その前に・・・目的は、この左辺のルートの中身を2乗の形にすること。なぜなら、ルートの中身が２乗ならルートが外れるからです。
２乗の形で有名なのが、

(x+y)^2=x^2 + 2xy + y^2 (^2は2乗の意味）

です。この、xyの係数が２であることに関係しています。

では、証明していきます。

√a=A

と置くと、

a=A^2　　

とかけます、(bについても同様の変換をする)

(a+b)+2√ab
＝A^2＋B^2＋2AB
＝A^2＋2AB＋B^2
＝(A+B)^2

となります。

つまり

√(a+b)+2√ab
=√(A+B)^2
=A+B
=√a＋√b

と公式を導けます。

これで、係数が２になる理由がわかりますか？

お礼

あけましておめでとうございます！
数学で年を越してしまいました。今後もご指導・ご指摘宜しくお願い致しますm(__)m
√a=Ａと置くと、すっきりして解り易いですね。
解説ありがとうございました。

回答No.6

debut

Ｎｏ３です。
＞√の前の係数は何故「２」なのでしょうか？

　これは(√ａ－√ｂ)^2＝(√ａ－√ｂ)(√ａ－√ｂ)
　　　　　　　　　　　＝(√ａ)^2－√ａ√ｂ－√ａ√ｂ＋(√ｂ)^2
　　　　　　　　　　　＝ａ－√(ａｂ)－√(ａｂ)＋ｂ
　　　　　　　　　　　＝ａ＋ｂ－２√(ａｂ)
　からきています。

　したがって、二重根号をはずすときは√の中の√の前の係数は必ず２
　でなければならないので、２でないときは２になるように変形しなけ
　ればなりません。

　例　√(11－６√２)＝√{11－２√(３^2×２)}
　　　　　　　　　　＝√(11－２√18)
　　　　　　　　　　＝√{(９＋２)－２√(９×２)}
　　　　　　　　　　＝√９－√２
　　　　　　　　　　＝３－√２

お礼

あけましておめでとうございます！
今年もご指導の方、宜しくお願い致しますm(__)m
なるほどです。
例題を見て納得致しました。
いつも親切丁寧な回答をありがとうございます。

回答No.5

murakkusu

二重根号を公式として覚えていたら、このような問題を解くのは難しく感じます。

まずは、「2重根号」の公式を導き理解してください。

そうすれば、√の中の√の係数をなぜ「２」にする必要があるのか、
そして、この問題の解として

(√25-√3)/√2

なのか

(√3-√25)/√2

のどっちなのかも、わかると思います。

そんなに、時間はかからないと思います。やってみてください、理解できたら、どんな2重根号の問題でも解けるようになります。

お礼

「理解」ですよね～。
本当、理解したいです。今までは、とりあえず公式に放り込んでどうにか答えを出してきた次第です。だから、長い間数学から離れていると、公式を忘れて解けなくなるんですよね。
アドバイスありがとうございます。
ＰＳ．係数はなぜ「２」にする必要があるんでしょうね？考えたこともなかったです。

回答No.4

ojisan7

もうすぐ、年も明けますね。勉強ご苦労様です。頑張って下さい。ところで、２重根号の公式は知っていますね。でも、公式を忘れても、自分で、すぐに導けるようにしておきましょう。
√{a+b-2√(ab)}＝√a-√b ただし、a>=b>=0
です。√(ab)に２が掛けてあるとことが、ポイントです。
√(14-5√3)
＝√{(28-10√3)/2}
＝√{(28-2√75)2}
＝(√25-√3)/√2
ここまでとしておきます。このあとは、自分で考えてくだい。

お礼

励ましのお言葉ありがとうございます。
今年は問題を解いている内に年越ししそうです。
（ちょっと悲しい・・・。）
二重根号ですか？すみません。皆様が教えて下さるまで、きれいさっぱり忘れていました！
ojisan7さんも、良いお年をお迎え下さい♪

回答No.2

keiryu

ルートの中だけを表示する、
（２８－１０√３）／２と先ず変形し、
続いて、(２８－２×５√３)／２とし、
(２８－２√７５)／２となり、
２８を５~2＋√３~2と考えると
(５~2－２√２５×√３＋√３~2)となり、これはある式の平方になっていますから、ルートがはずせますね、あとは分母の有理化をすると、・・・・
完全解答するとルール違反ですから、後は考えましょう

お礼

どう解いていいのか見当がつかないことが多くて、まいります（涙）
ヒントをありがとうございました。

回答No.1

ren96

「二重根号」のことですね。

これには特殊な解き方があるんですが・・・

√14-5√3

この通りにみてみると

√（A+B）+2√AB=√A+√B
√（A+B）-2√AB=√A-√B (A>B)

という公式があるんですが・・・これじゃ解けないですよねぇ

お礼

「二重根号」でしたね！
その言葉自体を忘れておりました。
ありがとうございます。