クラインの壺について
クラインの壷が四次元空間上で貫通しないと断じることができる理屈を教えてください。
クラインの壷として、一方の筒の口がその筒の側面に貫通しているような図を見ることがあります。
でもあれは四次元の幾何的構造としてのクラインの壷の断面図あるいは射影なのであって、クラインの壷そのものはそれ自身のなかで重なり合う部分を持たない、貫通しているようなことがないと断じられているのを知恵袋でも見たことがあります。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14240553914
しかし、私は先日以下リンク先の質問を投稿したのですが、そこでは「四次元の図形の全体像を想像できる人はいない」というような見解が多数派でした。
https://okwave.jp/qa/q10042768.html
つまり、全体像を想像できないのに、どうしてそれが貫通しないのだと断じるようなことが可能であるのか、ということに関心を持ちました。
確かに二度折れ曲がった部分がある棒について、その影では、一方の端が他方の端に近くでその棒自身を貫通しているように映っているという場合があります。これを逆から言えば、その影のもととなった図形はどこでも貫通してないと断ずることは可能です。
しかしこれは二次元も三次元もその両方の図形の全体像を知っているからいえることです。
貫通しないことを数式から示せたとしてもそれは数式に対応する図形の状態を事前に知っているからであるはずです。
先に貫通しない立体があって、その数式表現を知っているから、ある場合で貫通しないことを証明するなかでそのような数式がでてきたら、ああ貫通しないんだなとわかるという具合であるはずです。
こうした貫通した影と貫通してない図形という二次元と三次元の間で生じることがある関係が、三次元と四次元の関係でも成立するとは限らないわけです、
成立しないとも限りませんが、クラインの壷がそうなのであるかは具体的に調べないと分からないはずです。
でも四次元の図形の全体像(各断面図と断面図のつながり方)が想像できないわれわれには、クラインの壷の全体像も当然想像できるわけがありません。
結局、どうして想像もできない形に対してこれは貫通しないと断じることができるのかという話に戻ります。
まさにその貫通してる部分がないクラインの壷を想像できてるわけでもなければ実際それを見たことがあるというわけでもない人が、断面図としては貫通しているという事実を突きつけられてもなお、貫通してないと断じられるその奇妙さです。
「貫通しない」ということ自体を数学者等誰か権威ある人の知見として妄信している場合は除くとして、どのような理屈でそうだと断定できるのか、その理屈というか推論のプロセスを教えて欲しいです。
こちらには高卒程度の数学知識しかないというのを前提として、大学数学の概念がどうしても解説するうえで必要と言う場合は都度説明していただければと思いますが、そのときは難しいところもごまかさず、しかしその分その概念の理解においてつまずきやすいところをフォローしつつ丁寧に説明したうえでそうした概念を使っていただけるとありがたいです。私としては本当に商位相を言葉して聞いた事だけあるという程度です。裏表のない筒を数学的に式として表現できれば、貫通しないということは循環論法的に自明なはずだとかいうことを考えてみたりもしましたが、実際に触ることもできるメビウスの輪ならともかく裏表が無い筒なんて想像もできないものを、どうして数式に落としこめることができようかとそれ以上は行き詰ってしまいました。
