数IIIの本質について

質問

数IIIを教えることになった者です。
　私自身は文科系で数IIBまでが受験科目で、現に教えてもいますが
　数IIIは、これまで基礎的なレベルまでしか教えた経験が
　ありません。
　そこでこれまで数IIIを教えてこられたベテランあるいは
　数IIIを、独自の工夫で受験クリアされた方に質問です。

　今回教えることになって改めて、三角関数の微分のための極限値を
　求める工夫や、自然対数の設定、陰関数、逆関数、関数の連続性、
　関数の対称性、などがどっと盛り込まれている理由を考えました。
　これらは、一言で言って

　「（微分積分を含めて）扱う関数の種類が、これまでの関数の幅から、
　　どっと増えるため　、　処理手法を増やしておくことが必要だから」

　と説明していいのじゃないでしょうか？

　そうすればすべてがつながるように思うのですが？

回答No.1

dollar · ベストアンサー

ベテランとはとてもいえませんが、二年ほど教えていた者です。
数IIIの位置づけは、まさに質問者さんの言うとおりで、大正解だと思います。
数II微積分で扱っていたものは整関数のみであって、数IIIでは初等関数全般を扱うようになります。数IIIの最終目的は、初等関数を微積分できるようになることであって、極限やら連続性の定義やら、いろいろ出てくるのはそのためであると言っていいと思います。

残念ながら、生徒には個々の問題に対する解法のみが教えられ、大局的な数学観というものを伝えることが難しいのが現状です。
例えばラジアンの定義ですが、「何でこんな変てこな角度の表し方を使わねばならないのか」と首をかしげる生徒が多いようです。数III範囲を終えた後も、ラジアンの必要性を説明しろと言われて的確に説明できる子のほうが少ないでしょう。
なぜ「もしラジアンがなかったら、sinxやcosxを微分するたびに（2π/360）という係数を前に出さなきゃいけなくて大変なんだよ」というふうに教える先生が少ないのでしょうか。

新しい分野を教える際に、その分野の全体における位置づけを考えることはすばらしいことだと思います。どうか考察の結果を、ご指導に活かしていっていただきたいと思います。

お礼

いや、激励のことばありがとうございます。
　調子に乗ってこれまでの分野（数学IIBまで）で生徒の大局観にもとづく
　質問に答えてきたものをあげますと、

　Q　「ベクトルの内積は何のためですか？」
　A　「角度の計算です。特に９０度の時に便利です」

　Q　「自然対数は何の必要であるのですか？」
　A　「対数を微分するためです」

　Q　「線形計画法は何のためにあるのですか？」
　A　「最小コストで最大利益をあげるという経営上使う（とされている）
　　　経営管理の考え方です。実際にはさほど有効ではありません」

　などがあります。ご指摘の孤度法（ラジアン）は、おっしゃるとおりに
　「三角関数の微分のために、極限値を算定するために便利だ。
　　そもそも角度は３６０度が１００度であっても、１００バナナと言っても
　　何でもいい便宜的なものだ。」と説明してきました。

　ありがとうございました。

回答No.3

ryn

高校範囲で見ていると「扱う関数の種類が増えたから」
という理由に含まれないものとしては
平均値の定理が挙げられると思います．
数IIの範囲の関数がxの多項式のときでも使えるはずです．

ただし，大学の範囲まで考えて
　平均値の定理　→　テーラー展開
という流れを見ると，いろいろな関数が出てきたから
それらの関数を多項式で近似しようということで，
質問者さんの仰る理由に含むこともできると思います．

生徒に説明するときに困るとしたらこれくらいでしょうか．

お礼

ご指摘、ありがとうございます。
　平均値の定理については、たとえば三角関数と整関数の掛けあわさったものの
　ような複雑な関数（簡単にグラフの概形もイメージできない）
　の場合でもたとえば最低１個の解を持つことを証明する場合などに
　使えるのではないかと考えていました。

回答No.2

pyon1956

大学の理系では実際三角関数や指数関数などの微積分を使わなければならない分野も沢山ありますので、そういうことでいいんじゃないかと思います。

#1さんの三角関数は、旧課程の話ですね。新課程ではラジアンは数IIです。
もっとも「度」を含む形の関数というのも不気味ではあります（単位指定の関数はおかしい、ということ。旧数IIの三角関数はだから本来一般角三角比と呼んだほうが適切なんじゃないかと思います）。

まあ、数学的に過ぎる部分もあって、数学科に進学しない限り役に立たない部分も一定あるとは思いますが、そのあたり言い出すと高校教育自体が成り立たなくなっちゃうんで・・・

なお、公式暗記の部分が大変多いので、無味乾燥になりやすいと思います。その辺どうやる気を引き出すかが大切だと思いますが、健闘を祈ります。

お礼

どうもありがとうございました
　専門でやってこられた方の意見を聞きたかったものですから
　参考になりました。