ベクトルと座標の導入の利点について

質問

よく図形問題の設定で、ベクトルで考えたり、座標で考えたりすると、あっという間に解けちゃうことがあると思うのですが、それぞれベクトルと座標の導入の利点はどこにあるのでしょうか。

回答No.1

noname#7273 · ベストアンサー

図形の「分析」を可能にするということではないでしょうか。
分析という言葉は、「解析」と言い換えてもいいと思います。
つまり、図形の「全体イメージ」ばかりに目を奪われていると
なかなか解決できそうもない問題に対して、発想を変えて、
「細かく分けて調べる」という方法をとるということです。

具体的には、まず
図形とは、無数の点が連続して並んでいるものであるとか、
点の動いた跡であるなどと考えます。

次に、図形の存在する空間を想定し、そこに基準となる物差しを(複数)置きます。
つまり座標を定義することです。これによって、
点の位置を、x(縦),y(横),z,...などの複数の要素に「分解」して
表すことができるようになります。

その結果、わからなかった図形的な性質が、物の動きとして
x,y,z,...間の関係式として表すことができるようになります。

結局、図形の問題を解くという作業を、数や式の計算の世界で実施し、
その結果を再度、目に見える図形の世界に持ち帰るということが可能になります。

このように、図形を分析的に取り扱う手法、
あるいは分野と言ってもいいと思いますが、それを「解析幾何学」といいます。
中学や高校では、数や式、方程式あるいは関数などを学習した後、
図形の問題の多くを、このような方法で解くようになっています。

実際、このような手法は、
数学(に限らず「科学」全般)の多くの場面で利用されています。つまり、
何か解きにくい問題に出会ったとき、別な類似的な世界に移して、
そちらで解いてまた元の世界に戻すという手法です。

わたしは、ベクトルと座標の導入の利点をそんなふうに捉えています。

お礼

お返事ありがとうございます。なるほど、「分析」をしていたのですね。ベクトルや座標を導入する意義がよくわかりました。視覚的に初等幾何の知識で解けなかった場合は、別の世界に移して物を考えたいと思います。どうもありがとうございました。