二次方程式の解の個数と判別式との関係。。。

質問

またまたお世話になります(>_<)!!実習生です。

　実は、「二次方程式の解の個数と判別式」の部分の授業をまかされたのですが、授業運びをどうしようか悩んでいます。。解が２つ、１つ、０個の３通りの二次方程式を解かせ、どうしてこのような違いがでるのでしょう？？という感じにしようかとも思ったのですが、それだと、生徒は解の個数の違いが、判別式の符号に関係しているということを気付きにくいような気がするんです(>0<)

　どうにか、生徒にそこの部分に気付かせたいのですが、うまい導き方ってありますかねぇ…？？
どなたかお願いいたします(>_<)★☆

回答No.1

graduate_student · ベストアンサー

「二次方程式の解の個数と判別式」ということは二次方程式の解の公式は終ったということでしょうか？
判別式って解の方程式のルートの中身ってことはご存知ですよね？
√(b^2-4ac)ってところです．
判別式=b^2-4acですよね？
このb^2-4ac＞０であれば，±√(b^2-4ac)のところが残るので解が2つ（＋と－の2つあるから解が2つ）．
b^2-4ac=0であれば，√(b^2-4ac)=0となるので，解が1つ．
つまり，解=-b/(2a)．[x=-b±√(b^2-4ac)/(2a)において√(b^2-4ac)=0]
b^2-4ac＜0であれば，ルートの定義(ルートの中身は正）に反するので解は0個．

と教えるのはいかがですか？

お礼

大変遅くなり、申し訳ありません(>_<)!!

本当にご丁寧にどうもありがとうございました～☆とても参考になりました♪というか、そのまま使わせてもらっちゃいました(笑)☆★
おかげでなんとか無事に授業ができました(^0^)

本当に本当にありがとうございました♪

回答No.5

danjonmasuta-

学校の先生なんですね？昔、二次方程式を習った事を思い出します。私の答えは質問に的外れかもしれませんが、生徒は全員、二次方程式の解の公式を覚える事ができたでしょうか？昔の私は、恥ずかしながらできませんでした。それで数学嫌いになったわけではありませんが、余興に、生徒に詩を紹介してやってください。二次方程式の解の公式を覚える為に私が作った詩です。
「二詠分の舞成す美、婦裸す舞成す平方根、美の二嬢舞成す四詠詩」
私はこの詩を覚える事でやっと二次方程式の解の公式を覚える事ができました。おそらく私と同じような生徒も居るかとおもいます。この詩を覚える事で数学が好きになるかどうかはわかりませんが、とにかく、一度覚えると忘れられない非常に美しい詩だとは思うのですが。

お礼

大変遅くなり、申し訳ありません(>_<)!!

とてもとても斬新なアイデアをどうもありがとうございます～★☆とてもおもしろい方法ですね♪！

確かに、生徒は公式覚えにくみたいなので、今度ぜひぜひ使わせて頂きたいと思います(^0^)

本当にどうもありがとうございました♪

回答No.4

pyon1956

わかりやすければいいというものではありません。
何を学ばせるのか、何をつかんで欲しいのかが重要でしょ？

２次方程式の、ということは数学２ですね？
ここは複素数や解と係数の関係などに続く一節ですから、グラフを使って解の分類をいきなりやるのはお勧めしません。

すでに２次関数のグラフとその判別式（という言葉はやってないはずですが実質それにあたるもの）は習っているので、導入としてまずその復習からはじめるのはいいでしょう。

次に解の公式を使って実際に解を求める作業をします。その中に「解なし」や「重解」の問題もいれておけばいいわけで。そうするとルートが問題であることが自然とわかります。

あと、発展までやれるのならグラフとx軸の交点のx座標がが解にあたることをやりたいところですが、そこまできっちりやると１週間分ぐらいになっちゃうので、そこは先生におまかせ♡ってことで。

お礼

大変遅くなり、もうしわけありません(>_<)!!

実は数学２ではなく、数学１だったんですよ(笑)
でも、とてもとても参考にさせていただきました☆★
お忙しいところ、お力添えを感謝いたします♪

本当にどうもありがとうございました～(^0^)★

回答No.3

Interest

公式大嫌いな直感人間です。

ANo.2の方と大体同じ方針で、
２次関数のグラフとｘ軸との交点の数を用いて判別式の意味を考えることが、判別式の本質を直感的に理解することにつながるのではないかと思います。

私は平方完成とか忘れましたので、頂点が(q,r)である次の２次関数のグラフを考えました。
y = p(x-q)^2+r
これを展開して２次方程式の一般形と比較して
p=a, q=-b/2a, r=c-(b^2/(4a))
を得ます。

この頂点のｙ座標であるrの値と、グラフの上下の向きを決めるaの値の組み合わせによって、６通りのグラフがかけます。６通りのグラフを書いて見比べてみると、
(1) r=0のときはaの正負によらずｘ軸とグラフが接する。
(2) rとaが同符号のとき、すなわち ar > 0 のときはｘ軸とグラフが交わらない。
(3) rとaが異符号のとき、すなわち ar < 0 のときはｘ軸とグラフが２点で交わる。
ということがわかります。このことから、グラフとｘ軸が交わるかどうかは ar が０か、正か、負かを見ればわかることが導けます。すなわち、

ar=ac-b^2/4

が判別式として利用できるわけです。
ここで、分母に４があってあまりきれいではないので、正負の判別をする分には４をかけても正負に変化はありませんから、４をかけてきれいな形にすると、私たちがいつもめにする判別式に近い、

（仮の判別式 4ar)=4ac-b^2

を得ます。この値が０か正か負かによって２次関数のグラフがｘ軸と接するか、交点無しか、２点で交わるか、が判別できるわけです。言い換えれば、２次方程式の解の個数が判別できるわけです。

あとは「仮の判別式」の正負をひっくり返せば見慣れた判別式になるのですが、ここまで書いてみて、最後の「見慣れた」判別式の形にもってくのは流れが不自然かな、と思ってしまいました。数式意味するところは一緒なんですけどねぇ。

お礼

大変遅くなり、申し訳ありません(>_<)!!

本当にご丁寧な解答、とても感謝いたします★☆
グラフを使うというのもなかなか良いアイデアだと思いました(^0^)/~
生徒も興味を持ちそうですし。。☆

本当にありがとうございました♪♪

回答No.2

repobi

二次方程式の一般式：ax^2+bx+c=0
平方完成して、(x+b/2a)^2-D/4a^2=0 となります。

y=(x+b/2a)^2-D/4a^2 のグラフを描く。
すると頂点が(-b/2a , -D/4a^2)です。
結局、方程式の解の個数はグラフとx軸(y=0)の個数ですから、その辺を、aを符号分けしながら教えてみてはいかがでしょうか？

あまり上手い説明じゃないかもしれませんが・・・。

お礼

大変遅くなり申し訳ありません(>_<)!!

とてもとてもご丁寧どうもありがとうございました★
なるほど！グラフですね☆★そのような教え方もあるのですね～！！
とても参考になりました(^^)

ありがとうございました★☆★