-×-＝+、÷分数＝×もとの分数の逆数、となるのでしょうか

質問

2点ほど質問させて頂きます。
まず1点目は-（マイナス）×-（マイナス）はなぜ+（プラス）になるのでしょうか？例として最も簡単な(-1)×(-1)で考えてみているのですが皆目、見当もつきません。なぜなのでしょうか？
次に÷（分数）はなぜ×（もとの分数の逆数）とする事が出来るのでしょうか？　私が考えたのは例として10分の9÷10分の3を挙げますが
10分の9÷10分の3
＝10÷10分の9÷3
＝3
となり逆数をかける場合でも
10分の9÷10分の3
＝10分の9×3分の10
＝3
と言う事で答えが一緒になるから逆数をかけても良いのかな？と言う事なのですがどうでしょうか？

これがなぜかを1週間ほどずっど考えていてとても気になっているので出来るだけ早めに明確な回答を頂けると嬉しいです。

回答No.5

DoragonFang · ベストアンサー

最初の質問にはすでに解答がたくさん出ているので、省略します。

分数の件ですが、

例えば、（７分の６）÷（３分の２）を考えると、
これは、（７分の６）をＡ、（３分の２）をＢで置き換えると、Ｂ分のＡと表されますよね。

このとき、分子と分母に同じ数をそれぞれかけても
変わらないので、ＡとＢ（すなわち元の分数に）それぞれの分母である３と７の両方をかけます。

分子Ａは　７分の６×３×７＝６×３
－－－－－－－－－－－－－－－－－
分母Ｂは　３分の２×３×７＝２×７

で、（２×７）分の（６×３）ですね。
分子分母がかけ算同士なので、任意に分離できますから、（７分の６）×（２分の３）と変形できます。

とすると、×（２分の３）と逆数になっています。

こんなんで、どうでしょうか？

お礼

DoragonFang様から頂いたご回答、非常に分かりやすかったです。「分子と分母に同じ数をそれぞれかけても
変わらない」という性質を使えば簡単に説明できますね。つまりは分母の公倍数をかける事になり、分母を消す事になりますね。

回答No.8

edomin

１０分の９÷１０分の３→９／１０÷３／１０
の場合、分母と分子に同じ数を掛けても答えは変わりませんから
（９／１０×１０／３）÷（３／１０×１０／３）
＝（９／１０×１０／３）÷１
１で割っても答えは変わりませんから
９／１０÷３／１０＝９／１０×１０／３
になります。

お礼

どちらかの数の逆数を両方の項にかける事でも最終的に約分で消えて÷1になる、故に結果的には逆数倍する事になる、と言うことですね。有難う御座いました。

回答No.7

corpus

2点目の質問に答えさせていただきます。
まず、ステップ1
1÷1=1
2÷1=2
3÷1=3
(1/2)÷1=(1/2)
1.57392÷1=1.57392
《結論》どんな数も÷1という変換では変わらない。
次に、ステップ2
2÷1=(1×2)÷2=2
4÷2=(2×2)÷2=2
6÷3=(3×2)÷3=2
((2/3)÷2)=((1/3)×2)÷(1/3)=2
《結論》÷の左と右、つまり分子と分母で同じ数をかけても答えは同じ、この例では常に2になる。
最後に、ステップ3
(4/5)×(5/4)=1
(3/10)×(10/3)=1
《結論》逆数を掛け合わせると1になる。
これらを利用して
(9/10)÷(3/10)
=((9/10)×(10/3))÷((3/10)×(10/3))　…ステップ2より、÷の左と右で同じ数をかけても同じ
=((9/10)×(10/3))÷1　…ステップ3より逆数は掛け合わせると1になる
=(9/10)×(10/3)　…ステップ1より÷1なので変わらない
こんなわけで答えは一緒になります.

お礼

細かい所まで順を追って解説して頂けたので、非常に分かりやすかったです。有難う御座いました。

回答No.6

YSW

－×－＝＋については、No.３の方の説明と似た説明になるかもしれませんが、
１歩進むのを+1、戻るのを-1と考え、仮に1分間に3歩進むとすると、5分だと
3×5＝15で15歩進むことになります。
1分間に3歩戻るとすると5分で
（-3）×5＝－15で、15歩戻ります。
1分間に3歩戻るとして、5分前はどこにいたかというと
今より15歩進んだ位置にいました。
つまり、（-3）×（-5）＝15です。

÷分数が×逆数になるのは、
分数はもともと割り算と同じで、10分の9は9÷10と同じ意味です。
10分の9÷10分の3は、
(9÷10)÷(3÷10)と書き換えることが出来ます。
括弧を外すと
9÷10÷3×10
順番を替えて
9÷10×10÷3
分数に戻すと
10分の9×3分の10となります。

お礼

その数のもともとの意味を捉えて考えることが答えを導き出す第一歩ですね。有難う御座いました。

回答No.4

rmz1002

No.3です。

続いて
> ÷（分数）はなぜ×（もとの分数の逆数）とする
についてですが、これは逆に「整数の割り算を分数で考える」とわかりやすいです。
仮に「30÷6」という式があるとして、これは誰でもパッと「=5」と出せますよね？
ではなんで「５」になるんでしょうか？
これは「30÷6=『30×1分の6=6分の30→約分して』5」の
『』のなかを無意識に計算しているからです。

これは『元から分数でも同じことです』。
> ÷（分数）はなぜ×（もとの分数の逆数）とする
となるわけです。

お礼

そういえば確かに整数も30→1分の30と言った感じに置き換える事ができますね。盲点でした。では有難う御座いました。

回答No.3

rmz1002

> -（マイナス）×-（マイナス）はなぜ+（プラス）になるのでしょうか

これは実際自分の体で試してみましょう。
×の前の「+」を「体の向いている方向に」、「-」を「背中が向いている方向に」とし、
×の後ろの「+」を「そのまま前に1歩進む」、「-」を「そのまま後ろへ1歩下がる」と
してください。

では「+1×+1」はどうなりますか？
「体の向いている方向に」「そのまま1歩進む」ですから、「元の位置より1歩前に進んだ」と思います。

では「+1×-1」はどうなりますか？
「体の向いている方向に」「そのまま後ろに1歩下がる」のですから、「元の位置より1歩下がった」と思います。

では本題の「-1×-1」は？
「背中が向いている方向に」「そのまま後ろに1歩下がる」ですから、・・・・あれ、背中方向の後ろって結局「体の向いている方向」のことですよね。
そちらに一歩下がる・・・結局「+1×+1」と同様「元の位置より1歩前に進んだ」ことになりませんか？

これと同じことです。

お礼

私が言った一点目は現実に置き換えてみると非常に分かりやすいですね。丁寧なご回答有難う御座いました。

回答No.2

kei-f

「ゼロから学ぶ数学の１・２・３　算数から微分積分まで」(講談社)この本がわかりやすいですよ！

お礼

なるほど。そういった本は余り読まないのですがとても面白そうなので今度図書館ででも探してみようと思います。有難う御座いました。

回答No.1

aoiyu

こんにちは。

最初のご質問ですが
↓ＵＲＬがご参考になると思います。

参考URL：

http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1302581

お礼

多くのご回答、誠に有難う御座います。分かり易い回答がいくつもあり個人的には全員に良回答を差し上げたいとも思ったのですがそうもゆかず、最も納得できたと言うものに関してつけさせて頂きました。
さてaoiyu様、ご紹介頂いたURLは非常に参考になり、お蔭様で納得できる回答を見つけ出す事が出来ました。有難う御座いました。