新しい論理体系

質問

「今ある論理体系以外の論理体系は存在しない」ということを証明した人がいると聞いたのですが……。
　一体誰がどのように証明したのでしょうか。僕のまったくの記憶違いの可能性もありますので、そのときにはその旨を教えていただきたく……。
　よろしくお願いします。

回答No.4

robking · ベストアンサー

それって、多分「命題論理」及び「第１項述語論理」における完全性定理のことじゃないですかね？もし「それだったら、ゲーデルという物凄い論理学者が証明しました。「今ある論理体系以外の論理体系は存在しない」というものとは違うんですが、このように誤解される可能性はあります。

論理で重要になるのは「完全性」といわれるある性質と、「無矛盾性」です。又「完結性」なる性質もあります。

論理記号を使う事で、論理記号と命題の関係そのものの働きを、その論理語（記号）だけで全て定義出来るというのが「完結性」です。短くいえは、論理は、論理語だけで公理化出来るということです。

無矛盾性というのは、文字通り論理規則が矛盾しないことです。矛盾すると、例えば、「Ａである」と「Ａでない｝が同時に結論として導かれるが故に無内容になります。普通、論理はその働きが無矛盾であることが前提になります。

論理では「真理値」というものがあって、「真」か「偽」で決定されます。感覚的に申せば、その推論の内容が確信的に妥当であるか、明らかに間違っているか、を示します。普通、ある論理式が与えられた時に、その式が論理規則によって「真である」か「偽である」が確実に求まることが、望ましいものです。つまり「太郎君は生きている」ことが、真か偽か、確実に決まるようなものです。そしてどのような式（定理）が与えられてもそれが間違い無く、その体系の中だけで「真」か「偽」のどちらかで求まるような体系は「完全性」を持つといわれます。

ゲーデルは（詳しく述べませんが）「命題論理」と「第一項述語論理」について、その「完全性」を証明しました。「多項論理」や「様相論理」についてはそのような性質が無く、よって「不完全性」と言われます。一般の数学の基礎になるような自然数論も上の意味で「不完全」です。

「完全な論理体系は、命題論理と一項述語論理以外存在しない」というのだったら、それはゲーデルという人が証明した驚異的な結果です。

でも、「今ある論理以外の論理体系は存在しない」という言葉を、文字通り解釈すれば、「そりゃそうだ」ということになるでしょう。「今生きている人間以外に生きている人間はいない」といっていることと同様ですから。

彼が「完全性定理」をどう証明したかについては、長いので、論理学の教科書を紐解くことをお勧めします。

お礼

大変詳しい解説ありがとうございます。

　たぶんこのことをいっているのだと思います。

回答No.3

Xxxa

率直に申しまして、科学的（論理学的見地も踏まえて）には、その陳述そのものは無意味です。つまり、比喩的に、メタ証明論的に申せば、その証明は不可能です。
「理論体系」と言うのは内包的なものであり、その「理論体系」で理論の宇宙を作る事は出来ますが、その「理論体系」の外（宇宙）に関しては何も言えはしないのです。
確かに、我々が現在使っている理論体系（と言っても様々な階層がありまして、
唯１つではないのですが）、非常にリーズナブルでこれ以外にあるとはとても考えられないと言うのは、心情的にはよく理解できないこともありません。
しかし、それ以外に無いと言うのは、（繰り返しですが）、使っている「理論体系」では、何も言えないとしか言いようがありません。

回答No.2

stomachman

「論理体系」って何のことで、どんなのが「今ある論理体系」なのか、ここんとこをはっきりしないとどうにもなりません。
　なんて言っても始まらないのは分かってるから、一般論をやってみましょう。

　論理は人間の推論を抽象化・規則化したものです。何も「どんな命題でも証明できる（完全性）」「必ず正しい答がでる（無矛盾性）」という性質を持つ必要はありません。実際、人間の推論はよく誤ります。
　そういう意味で、論理体系なんてナンボでもあり得ます。特に、義務・権利・偶然・必然・知識・信念・憶測・因果関係・帰納（思いこみ）などなどを取り扱える論理（様相論理と言います）はまだ発展途上です。
　また「証明の能力は限られているけれど、機械的に推論を行うのに適している」という論理だってありますし、そのバリエーションもいろいろ考えられるでしょう。
　かくて、「今ある論理体系以外の論理体系は存在しない」ということを証明した人が存在しないことが証明できそうな気がします。

　なお、不完全性定理は直接関係ないと思いますが、質問検索で幾つかヒットしますよ。

回答No.1

ttst

ゲーデルの不完全性定理のことでしょうか？
ゲーデルは、今ある理論体系の正当性を証明することはできない、ということを証明したらしいのです。つまり、1+1＝2は絶対に正解だと言える理論はないということらしいのですが、私あまり良く理解できてませんのでここらへんのところの説明はできません。
　回答になってませんね、ごめんなさい。

お礼

簡潔な解説ありがとうございます。

　たぶんこのことを耳にしたのだと思います。