前を走っている人には追いつけない！？

質問

例えば、ウサギとカメが競争するとします。でもうさぎの方が早いのでハンデとしてカメはゴールまでの地点の半分からスタートするとします。両者同時にスタートして、ウサギがカメのスタート地点まで移動したときカメはまだウサギに追いつかれません。次にウサギから見て今前方にいるかめの位置まで移動したとき、かめはこの間にまたわずかにゴールに近づいているのでまだうさぎには追いつかれません。・・・・・これを繰り返し考えていくと前を走っているカメにうさぎは追いつけないことになります・・・・。間違っているのは分かるのですが、どういう考え方が間違っているのか、分かりません。分かる方おりましたら、分かりやすい説明の方をよろしくお願いします！

回答No.11

tuukounin · ベストアンサー

簡単に考えるのなら、ウサギが亀に追いつく地点を計算で求めれば、それ以降はウサギが前になるのですが、質問はそういう事ではなくて、「ウサギと亀」のパラドックスを理論的に間違いだと証明したいという事なのですよね？

考え方としては、ウサギが亀に追いつけば追いつく程、時間が細分化されるというところまではわかりますね。

そうすると、条件として無視される部分が出てくるのです。

まず、一つ目の考え方。
それは、亀の行動（一歩）にかかる時間です。
亀は一歩前に踏み出すまでは移動していない事になります、その間にウサギの行動（一歩）が完了してしまいます。
これは理解できますかね。

つまり、ウサギが亀の位置まで動いても、亀は行動を完了出来ずにいるという瞬間がきてしまうという事になり、「ウサギが亀の位置まで移動する間に亀は先に進んでいる」という問題文自体が間違いだという事になります。

そこで、二つ目の考え方。
それは、一歩の長さです。
ウサギが亀よりも早いのであれば、一歩にかける時間が早いか、一歩の幅が長いことになりますね。

そこで問題をもう一度考えて見ましょう。
ウサギがどんどん亀に追いついていきますね。
すると、殆ど並んでいるのと同じ状態になります。（あくまでも亀が前ですが）
そこで、お互いが一歩ずつ同時に踏み出せばどうなるでしょうか？
ウサギも亀も同時に行動し、行動し終わった時点ではもうウサギの方が前にいることになります。
もし、ウサギが永遠に亀に追いつけないのであれば、ウサギも亀も最後には一歩が完了しないという事になります。
つまり、このパラドックスはウサギも亀も動きつづけても尚、ウサギが亀に追いつけないのではなくて、ウサギも亀も最後の一歩を永遠に終わらせされないでいる問題だという事になり、やはり「ウサギが亀の位置まで移動したとき」という問題自体が成り立たないという事になります。

このパラドックスの誤りは、ウサギや亀の行動（一歩の長さや一歩にかかる時間）という条件を無視して、時間や距離と同じように永遠に細分化していけるかのように文章を作っているという事です。

こんな感じでどうでしょうか？

お礼

解答ありがとうございます。数学とはまた違う現実に起こることとこの問題文を照らし合わせて誤りを見つける新鮮な考え方のように感じます。ウサギが亀よりも早いのであれば、一歩にかける時間が早いか、一歩の幅が長いかのどちらかというのは、本当にその通りです。この点に着目すると・・・なるほど、解答してくださった通りです。問題文の誤りが本当に分かります！こういう考え方（１歩にかける時間が早いか、１歩の幅が長いかのどちらかに着目し双方から矛盾点を見つける）は、したこと無かったんでただただ納得するばかりです。ありがとうございました。すっきりしました。

回答No.3

yaksa

よくある、「アキレスとカメのパラドクス」ですね。
いろいろ、解釈の仕方はありますが、
「これを繰り返し考えていくと前を走っているカメにうさぎは追いつけないことになります」
これが違うと考えるのが一番自然ですかね。

無限個のものを足しても無限ではなくて有限になる場合があります。この場合の「等比数列の和」もその一例ですね。

詳しいことは、この後の方が説明してくれるはず

お礼

解答ありがとうございます。このパラドクスが違う！と割り切りたいんですが、割り切れません・・・。発散しない等比数列の和というのは何となく似ている気がします。

回答No.2

shinkun0114

有名なゼノンのパラドックス「アキレスと亀」ですね。
私も間違っているのはわかるのですが、明確な回答をと言うと、
きちんとした回答はないんだそうです^^;

とりあえず、「アキレスと亀」をキーワードに検索してみてください。
いろんなウェブサイトで解説されてますよ。
その中に納得できるものがあるといいのですが。

お礼

解答ありがとうございます。そうです。名前忘れてました。ゼノンの逆理とか・・・そんな名前だった気がします。きちんとした解答は無いのですか・・・！？難しいですよね・・・教えていただいたキーワード”アキレスと亀”で検索してみます。

回答No.1

urazen-sie

うさぎがつねに亀の後ろにいるなら追いつけないでしょうが、いずれ追い越すでしょう
移動スピードが違うのだから
一定時間内に動く距離を考えてみればいいのでは？

お礼

回答ありがとうございます。一定時間に動く距離を考えれば明らかに追い抜くのは分かるのですが・・・何かすっきりしないんです・・・。