ガウス・・・・

質問

[x^2]-2x+1=0の解の和を求めよ。
という問題で、場合わけの仕方がわかりません。
どなたか教えていただけ無いでしょうか？？

回答No.6

eatern27 · ベストアンサー

#4です。

＞なんで奇数と偶数の解が違うとわかるのでしょうか？？
何も最終的な解を見通して、場合分けをしているわけではありません。
目の前の壁(?)を突破するために場合分けをしています。

dekorute1010さんも、ガウス記号さえなければ解けますよね？
要は、ガウス記号が邪魔なんです。邪魔なんだから、なんとかして消せないだろうか？
という事から、場合分けが生じています。どういう事かというと、

今述べたように[x^2]のガウス記号を消す事が目標なのですが、[x^2]はどうやっても、これ以上変形はできないので、ガウス記号は消せません。

ところが、#4に書いたように、[x^2]+1=n (n:整数)
とおいてみると、x=n/2となります。

なんと、今までxは実数全体を考えていたのに、整数を2で割った数、に限定されました。(考える範囲が減ったので、それだけ、楽になります)
そこで、[x^2]の代わりに、[(n/2)^2]のガウス記号を消せないか、というのを考えてみましょう。でも、やっぱり、うまくいきません。

でも、しばらく考えていたら、
nが偶数なら、ガウス記号の中身が整数になって、ガウス記号が消せるのだけど、nが奇数の場合もあるからなぁ・・・。
という事に気づきます。(気づいて下さい)

逆に考えれば、nが偶数の時には、簡単にガウス記号がはずせるんです。

なので、n=2mの時は・・・。
と考えたくなります。この後は省略しますが、あれこれ計算すれば、mが求まります。(ただし、mが整数でなければ、それは解でない事に注意)

nが偶数の時は求まったのですから、後は、nが奇数の時だけです。
そこで、n=2m+1の時は・・・。
と考えていくのが、自然な流れになります。

こんな感じで、nが偶数の場合、奇数の場合と分けています。

もちろん、n=2m+1とおいたあとに、[x^2]=[(m+1/2)^2]のガウス記号が消せる保証はありません。
この問題の場合は(たまたま)消せるので、これ以上の場合分けはしていませんが、
もし、ガウス記号が消せなかったら、さらに、mが「偶数の場合、奇数の場合」、「3で割ると、0,1,2余る場合」など、別の"工夫"をしていたでしょう。

お礼

返信有難うございました。
eatern27さん、mild_saltさん
とてもわかりやすく教えていただきとても感謝してます。

回答No.5

mild_salt

No.2 の者です. 「2xが整数だからxは整数」とは何ともこっ恥ずかしいことを書いてしまいました… 申し訳ありません.

偶奇に分ける件ですが, 例えば, No. 4さんのように「2xが整数」というところまでくれば, xを考える上でその整数が偶数か奇数か, を考えることは自然かと思います.

回答No.4

eatern27

＞因みに奇数と偶数の時に分けるやり方はどのようにやるのでしょうか？

[x^2]+1=2x
左辺はどのようなxに対しても整数になりますので、[x^2]+1=n (n:整数)とおけます。

すると、2x=[x^2]+1=nより、x=n/2となります。

nが偶数の時、n=2mとおくと、[x^2]=m^2
nが奇数の時、n=2m+1とおくと、[x^2]=m^2+m
となりますので、
[x^2]-2x+1=0はmについての2次方程式になります。あとは、この2次方程式が整数解を持てば、それをもとに解が求まります。

補足

ここで質問なんですが、根本的に、このような問題を解く際、なんで奇数と偶数の解が違うとわかるのでしょうか？？

回答No.3

mirage70

[a]はaという値を越えない最大の整数という意味で　す。
　従って、[a]=zとでもおいたとき、
　z≦a＜z＋1は知ってます、これを使ってください。
ガウス記号の意味どおりにしましょう。
y1=[x^2],y2=2x-1の交点を求めればよいです。
0<=x<1のとき、与式は-2x+1=0 ∴x=1/2 OK
1<=x<√2のとき、与式は-2x+2=0 ∴x=1 OK
√2<=x<√3のとき、与式は-2x+3=0 ∴x=3/2 OK
(2<=9/4<3)
√3<=x<2のとき、与式は-2x+4=0 ∴x=2 NG
2<=x<√5のとき、与式は-2x+5=0 ∴x=5/2 NG
以降、成立せず。
二乗がついたために迷ったのですか?
ガウス記号は何処にかかっているのか考えてください。

補足

返信有難うございました。
それと・・・・
解答には、奇数の時と偶数の時で場わけしてありました、やり方はいろいろあるんですね、因みに奇数と偶数の時に分けるやり方はどのようにやるのでしょうか？教えていただけたら幸いです。

回答No.2

mild_salt

勘違いだったら申しわけないのですが,
[x^2]+1 = 2x
で, 左辺は整数ですから, 右辺も整数ですよ. よって, xの解は整数に限られます.
整数xに対しては, [x^2]=x^2ですから, 普通に,
x^2-2x+1=0
の整数解の和, ということになるかと思います.

しかしこれでは, 問題としてなんか面白くないので, 勘違いをしているのかもしれません… 自信なくてすいません.

補足

答えは３になるはず、らしいです。
アバウトですいません。

回答No.1

bilateraria165

ガウス記号の意味はご存知ですか？
[a]はaという値を越えない最大の整数という意味です。
従って、[a]=zとでもおいたとき、
z≦a＜z＋1
の関係があります。これはすなわち、
a-1＜z≦a
ですから
x^2-1＜[x^2]≦x^2
となります。これを使って解けないでしょうか？

補足

返信有難うございました。
＞ガウス記号の意味はご存知ですか？
　[a]はaという値を越えない最大の整数という意味で　す。
　従って、[a]=zとでもおいたとき、
　z≦a＜z＋1
は知ってます、
x^2-1＜[x^2]≦x^2 を使ってとくのでしょうか？