統計学 - 最小二乗推定量の不偏性の証明について

質問

初めて質問させていただきます。
統計学を勉強しているのですが、標記の証明について、どうしても理解できないところがあります。
添付ファイルのE[β^]の計算のところで、第2項の分子がなぜΣ(Xi - Xバー)E[ui]になるのかわかりません。
赤枠で囲まれたβ^の定義に基づいて期待値をとるなら、第2項の分子はΣ(Xi - Xバー)E[ui]ではなく、E[Σ(Xi - Xバー)ui]、若しくは和と期待値を交換してΣE[(Xi - Xバー)ui]となると思いますが、ΣE[(Xi - Xバー)ui] = Σ(Xi - Xバー)E[ui]のような式変形が可能なのはなぜでしょうか。
なお、テキスト全文へのリンクはこちらになります(添付の箇所は15ページ目です)。各変数の定義など確認いただければと思います。
https://www.fbc.keio.ac.jp/~tyabu/econometrics/econome1_3.pdf
どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.1

noname#258756

テキストで、X_iは確率変数ではなく定数であるという仮定が置かれていますね。期待値の線形性によって、確率変数の定数倍の期待値をとるとき、定数を期待値記号の外に出せます。