なぜ正しいといえるのか教えてください

質問

ある数学の問題ですが、

『100点満点で、得点は必ず0以上の整数値をとるテストを
100人が受験したところ、その得点の平均が50点であったとき
「50点以上の得点の人が、少なくとも2人いる」は正しい。』
というのがなぜいえるのかが分かりません。
例えば2人が50点で、98人が49点のとき、平均点は49.02点になり、
なんか違う気がするのですけど。

どう理解すればいいのか教えてください。

回答No.1

w4330 · ベストアンサー

少なくとも2人いる
これがミソ
「50点以上が2人おれば平均点が50点」ならあなたの疑問は正しい
少なくとも2人いる・・・この真意は「50点が1人なら絶対に平均点は50点を超えない」ということです
100点：1人、49点：99人なら平均は49.51点
100点：1人、98点：1人、49点：98人なら平均は50点

お礼

まさに私の解釈が貴方のおっしゃるとおりで勘違いしていることが分かりました。回答ありがとうございました。

回答No.5

noname#255857

平均50点てことは100人分の点数の合計は5000点。
10000点満点中ね。

5000点を100人で割って、50点以上の人が二人を超えないように
できるか考えてみましょう。
1人が100点にすると残り99人で4900点を受け持つことに。
4900/99=49.49。　←これがピッタリ50じゃないといけない。
50点を超える人が1人では平均点50にどうあっても届きませんね。
つまり少なくとも二人要るのです。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.4

noname#259815

50点以下の最高点は49点
50点以上の最高点は100点

よって平均は50.02
（貴方の考えでは50点以上の点数を最低の点数50）

平均というのであれば50点以下でも50点以上でも
どちらも合わせるべきなので最高点で平均点を出す。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

m-take0220

＞ 例えば2人が50点で、98人が49点のとき、平均点は49.02点になり、

その場合は「平均点が50点」を満たしていないので、条件に当てはまりませんよね。
「50点以上の得点の人が少なくとも2人いる」ならば「平均点は50点」という命題は、今回与えられた命題の「逆」なので、逆は必ず真とは言えません。

この命題を考える場合、50点以上の人が1人ではだめなことを示せればよいのです。0人では不可能なことは当たり前であり、1人でもだめであれば、少なくとも2人はいることの証明となります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

hiro_1116

仮に、それが正しくないとすると、
１．50点以上は一人もいない
２．50点以上は一人、他の99人は50点未満
の２ケースの何れかで平均点が50点になる、ということですね。

１．は当然ありえませんし、２．のケースで平均点が最も高いのは一人が100点、残りの99人が49点の場合です。しかし、この場合でも、平均点は50点に届きません。

質問者様がおっしゃる「50点以上が２人以上いても平均点が50点に届かないことがある」は、全く別の話です。

お礼

回答ありがとうございました。