数学の問題

質問

13番がどうしてもわかりません。
提示された式は、αを代入した時、0未満になること、γを代入した時に0より大きくなることは分かります。
βを代入した時、提示されている式の値が0より大きくなるか、0未満になるか、分かりません。それがわかれば、中間値の定理で証明するだけだと思います。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

両辺に
(x-α)(x-β)(x-γ)
をかけましょう。すると
(x-β)(x-γ)+(x-α)(x-γ)+(x-α)(x-β)=0
という２次方程式になりますね。

形の美しさに着目し，グラフで考えてみましょう。

f(x)=(x-β)(x-γ)+(x-α)(x-γ)+(x-α)(x-β)　……①
とおきます。すると
f(α)=(α-β)(α-γ)+(α-α)(α-γ)+(α-α)(α-β)=(α-β)(α-γ)
となります。
ここで条件α<β<γより，α-β<0,α-γ<0であるから
(α-β)(α-γ)>0
∴f(α)>0　……②

同様に
f(β)=(β-α)(β-γ)
ここで条件α<β<γより，β-α>0,α-γ<0であるから
(β-α)(β-γ)<0
∴f(β)<0　……③

同様に
f(γ)=(γ-α)(γ-β)
ここで条件α<β<γより，γ-α>0,γ-β>0であるから
(γ-α)(γ-β)>0
∴f(γ)>0　……④

②～④より
２次関数①のグラフはx軸と異なる２点で交わることがわかります。
（確かに中間地の定理が根拠ですね）

だから２次方程式
(x-β)(x-γ)+(x-α)(x-γ)+(x-α)(x-β)=0
は異なる２つの実数解を持つことが言えましたね。

これから元の方程式も異なる２つの実数解を持つことが言えました。

お礼

ありがとうございます。一番わかりやすかったこれをベストアンサーにしました。

回答No.1

gamma1854

分母を払いｘの２次方程式を考える(判別式>0 を示す) .