第二量子化の計算

質問

<N|b†b|n>=|<N-1|b|N>|**2 +Σ|<N-1|b|N>|**2
ただし右辺の第二項はN-1を展開しています。
宜しくお願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．
ちょっと用語が不正確でした．
ボソンの種類と状態というような言い方をしないといけませんでしたね．
種類は１種類ですが，状態はいろいろある，そういうことですね．

さて，２乗の話と言うことなら
b† と b とは共役ですから
(1)　　<p|b†|q> = <q|b|p>^*
です(^* は複素共役の意)．
したがって，
(2)　　<p|b†|q> <q|b|p> = |<q|b|p>|^2
です．

お礼

お手数をかけてしまいすいませんでした。
大変にありがとうございました。

回答No.2

siegmund

motsuan さんとほぼ同意見です．

b†やb と言う表現からすると，フェルミオンでなくてボソンの話ですかね．
多分，|N> はボソンがＮ個ある状態でしょうが，
ボソンは１種類？それとも多種類？
多種類なら |N> は単に全ボソン数だけでは特定できず，
どのボソンが何個あるという状態の特定が要ります．
|N-1> も同じこと．
ボソンが１種類なら，|N-1> もただ１つだけ．
展開という意味がよくわかりませんね．
ボソンが多種類なら，b†やb にもどのボソンか特定する添字などが必要です．

b†とb の間に
1 = Σ(kについての和）|k><k
を挿入したのは motsuan さんの言われるとおりでしょう．

補足

説明が足りなさ過ぎて申し訳ありません。
これはボーズ凝縮の話でしかも一種類の粒子です。
N個の粒子が基底状態にあったのを１個励起させています。
そして｜N-1>を展開と言うのは間違いでして（すいません）基底を越えたエネルギーの波動関数です。
｜N-1>には添え字Kが付いていてｋが1からｎまでです。
ｋはエネルギーの大きさを表してます。
僕としては二乗というのがまったく検討がつきません。
本当によろしくお願い致します。
説明不足で本当にすいませんでした。

回答No.1

motsuan

ｂとか|N>とか定義が良くわからず
Σ|<N-1|b|N>|**2 も何について和をとるのか
わからないのですが（なんかフォック空間を考えていて、
ｂはボゾンの消滅演算子かなにかで
|N>はボゾンがＮ個ある状態なのでしょううか？）
{|N>}が正規化された完全直交系として
<N|b†b|N>＝Σ(kについての和）<N|b†|k><k|b|N>
と展開してなにか特定の|N-1>に
注目しているだけとかいう式ではないのでしょうか？
そうするとΣ|<N-1|b|N>|**2 が全く予想がつきません。
うーんヒントを！

お礼

説明が足りなくてすいませんでした。
とても勉強になりました。
ありがとうございました。