解法を教えてください。

質問

平成２７年度大阪府公立高校前期数学の入試問題です。図形ＡＢＣＤＥＦは２ｃｍの正６角形です。よろしくお願いします。

回答No.2

yougamaster · ベストアンサー

BJ=Xとします。
図のようにA,B,F,Kを通る補助線を引き
新しくできた点をL,M,N(=90°)とします。

正六角形の１つの内角は120°なので∠LBA=180°-120°=60°
三角形ALB=30°、60°、90°の直角三角形なので
AB=2のときLB=1 AL=√3
（この直角三角形の比はよくでるので覚えておきましょう。）

三角形ALJに三平方の定理を用いて
AJ^2=AL^2+JL^2　　　　（2乗は ^2 で表しています。）　
三角形AMKに三平方の定理を用いて
AK^2=AM^2+MK^2
三角形AJKに三平方の定理を用いて
JK^2=AJ^2+AK^2
=(AL^2+JL^2)+(AM^2+MK^2)
={3+(1+X)^2}+{3+(1+3X)^2}
=10X^2+8X+8

BN=FK=3Xで
JN=BN-BJ=3X-X=2X
だから三角形NKJに三平方の定理を用いて
JK^2=JN^2+NK^2
=(2X)^2+(2√3)^2
=4x^2+12

よって
JK^2=10X^2+8X+8=4x^2+12

6X^2+8X-4=0
3X^2+4X-2=0

解の公式を用いて
X=(-2+√10)/3　　となりました
（(-2-√10)/3はマイナスの値なので辺の長さとしては不適）

中学校で学ぶ知識のみで解いたつもりですが、もし習っていない事柄があったらごめんなさい。

回答No.1

noname#227255

この正六角形は、半径2cmの円に内接します。
この円の中心を原点O(0,0)、点Aを(0,2)、BJ=aとおくと、点B、J、F、Kの座標は次のようになります。
（ただし、0＜3a＜2であるから、0＜a＜2/3）
点B(-√3,1)、J(-√3,1-a)、F(√3,1)、K(√3,1-3a)
点AとJを通る直線の傾きは、(a+1)/√3
点AとKを通る直線の傾きは、-(3a+1)/√3
これら2つの直線は直交するので、{(a+1)/√3}*{-(3a+1)/√3}=-1
これから、3a^2+4a-2=0
これを解の公式によって解くと、a={√(10)-2}/3cm（0＜a＜2/3）

お礼

ありがとうございます。ベストアンサ－ではありませんがよくわかりました。お忙しい中ありがとうございます。感謝してます。