小学校では「ゼロで割る」ことをどう教えている？

質問

ベネッセのチャレンジタッチ小学３年生で「割り算」の解説の動画があり、
「8を0で割ると0だよ」
と教えている、という話を知りました。

高校生以上（？）だと、ゼロで割ってはいけない（ゼロで割った場合の答えは不定）
と教わると思うのですが、
小学校の教科書では「ゼロで割るとゼロ」ということになっているのでしょうか？

回答No.5

noname#212313 · ベストアンサー

> ベネッセのチャレンジタッチ小学３年生で「割り算」の解説の動画があり、
>「8を0で割ると0だよ」と教えている、という話を知りました。

　事実であれば由々しきことですね。もちろん、どう屁理屈をこねようとも正しくはできず、明確に間違いです。類似例としては、ネットでは、ある小学校のテストで「9÷0＝0」となっていたということが話題になったことがあります。もちろん、正しいと言う人はごく僅かで、少数の正しい論者はたちまち論破されてしまいました。

　算数は理論的には数学に完璧に含まれています。数学が正しいとできないことは、学問としての算数でも正しいとはできません。学問としての算数なんて言うと、ときどき「そんな大げさな」と言われることがありますが、算数は数学へつながっていく立派な学問です。また、数学の一部であるからこそ、正しいものだとして安心して学べます。数学が「できない」「駄目だ」「間違いだ」と言うことを、算数が勝手に「算数では構わないことにする」とはできません。してはなりません。

　算数では、8÷0の答が□だとすると、「□×0＝8、もしくは0×□＝8と意味づける」とされているようです。もちろん、0を掛けて8になる数字はありません。もし、「□×8＝0、もしくは8×□＝0」だと勘違いすれば、□は0になり、お示しの間違いになります。しかし、あくまでも勘違いによるもので、明確に間違いです。

（ご参考：啓林館の算数用語集より
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/03/page3_03.html ）

　それでも何とか屁理屈をこねるべく、仮に「8÷0＝0」が正しいとします。0以外の問題ない場合を考えると、例えば「8÷2＝4」で、答を検算（逆算）で正しいかどうか確かめるには、両辺に割る数の2を掛けて、

　8÷2＝4
∴8÷2×2＝4×2
∴8÷(2÷2)＝8
∴8÷1＝8
∴8＝8

と、割り算の計算が正しかったことが分かります。これが「8÷0＝0」でできるのかどうか。上記で2を0に置き換えてみます。

　8÷0＝0
∴8÷0×0＝0×0
∴8÷(0÷0)＝0

　0÷0がいくらなのか分からないと、先に進めません。仮に「0で割れば0」の理屈を使ってみて、0÷0＝0だとしても、元の木阿弥の「8÷0＝0」に帰着します。「同じ数で割れば1」が使えると考えて、0÷0＝1とすれば、8÷1＝0から8＝0という合わない等式になります。

　既に「（ゼロで割った場合の答えは不定）」とご承知の通り、0÷0は定義を拡張しても（割り算は0で割ることは通常は未定義とされている）、不定です。この場合の不定とは「ありとあらゆる数になる可能性があり、かつ、どの特定の数にもならない」という、数のような概念です。8÷0なら不能ですね。不能から拡張して無限大とすることもあります。

　いかにも8÷0＝0となるよう、トリックを考えてみます。

　8÷0＝0
∴8÷0×0＝0×0
∴(8÷0)×0＝0

　こうすると、8÷0がいくつであっても、0を掛けていますから左辺は0になるような感じはします。

　ところが、上述しましたように、「8÷0」をできるだけ数として記述するなら、8÷xでx→0の極限を考えるなら、無限大（∞）です。「∞×0」は極限値の例などで類するするとしても、さまざまです。0以外の有限値や、振動して値が定まらなかったり、∞になることだってあります。ですので「0を掛けたんだから0」とはできません。そもそも、この論理では「8÷0＝∞」としたのですから、「8÷0＝0」と両立するわけもありません。

「8÷0＝0　余り8」とできるかといえば、できません。余りのある割り算では割る数より余りは小さい値でなければならないからです。8個を0人に等しく分配しようとしても、分配できないから0個で8個余る、とは強弁できないのです（強弁の中で「分配できない」と言ってしまっている、つまり割り算が成立しないと明言してしまっている）。

　実はここまでは、何人かの「0で割ったら0」論者とやり取りした内容をダイジェストで述べたものです。「0で割ったら0」論者の中には、さらに「0で割るって分かりにくいから、そうしておく」と暴論を述べた者もいました。とんでもない話です。

　0では割れないというのは、ある意味当たり前すぎ、別の意味では難しすぎて、あまり真剣に教わりません。だから「0で割れない」とだけしておくのが普通です。仮に「0で割ったら0でいい」と思ったまま、理系に進み技術者になった人がいたらどうでしょうか。そんな人が設計した橋は怖くて渡れません。数学を使うどの分野でも同じようなことになります。

　0で割ったら0などという教材があれば、その教材で学ぼうとした生徒には教材は間違いだと教え、直ちに教材会社、担当者を詰問すべきです。

> 小学校の教科書では「ゼロで割るとゼロ」ということになっているのでしょうか？

　私の知る限りではありません。ゼロでは割れないことになっていますし、分数の分母もゼロは許されていません。ただ、小学校の教科書（実は中学、高校も）には、検定の対象外の「教師用指導書」なるものがあります。教師が教える参考にするためのことが、教科書に朱書きなどで補足する形で記載されています。教材会社への影響力も強いようですが、一般人には入手も閲覧も困難です。

　教師用指導書に「0で割ったら0」の記述がないかどうかまでは、ちょっと私では分かりません。もしあるなら、大問題でしょうね。教師はそう教えるものだと思ってしまうし、教材会社はそれに沿って教材を作りますから。

P.S.

　漏れ聞くところによれば、算数の教師用指導書には、かけ算には順序があるとか（交換法則の否定だが、文章題限定とか、単純ではないらしい）、足し算は順序がある場合もあるとか（かけ算とは別の理屈らしい）、引き算や割り算の無駄に複雑な分類とか、不思議な記述があるようです。閉鎖社会ではおかしな宗教でも流行るんでしょうか。困ったものです。

補足

ありがとうございます。教科書には書いてないのですよね、やはり。。。

ゼロで割ることがNG、という教師用指導書を見つけました。
http://genkuroki.web.fc2.com/sansu/3-nenjo-warizan/index.html

なお、ゼロで割ることがNGなのは
http://blog.donaldo-plan.com/archives/2550
にも分かりやすい説明がありました。明らかですよね。

ネットで話題になった９÷０＝０とは
http://togetter.com/li/412606
のことですね！

回答No.6

noname#212313

#5です。

> ゼロで割ることがNG、という教師用指導書を見つけました。

　かけ算に関して、ツイッターなどで発信している数学者ですね。最初の頃は極めてまともな話をしていたのですが、途中からおかしくなったようです（叩くことが手段から目的に変わったかの如くだった）。

少し気になる記述がリンク先にありますね。

> 具体的な場面に基づいて、「1つもない」=「分けられない」=「答えは0」であることを説明する。

　分けられないということが0を意味すると受け取ってしまうと、0で割ると0だと勘違いを起こす可能性がありそうです。

> なお、ゼロで割ることがNGなのは
> にも分かりやすい説明がありました。明らかですよね。

　ウィキペディアのゼロ除算の項目と記載が似ています。同じ人がウィキペディアに書いてくれているかもしれません。

・ゼロ除算（ウィキペディア）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%AD%E9%99%A4%E7%AE%97

> ネットで話題になった９÷０＝０とは
> のことですね！

　その画像ですね。多少気になるのは、「9÷0＝0」を上下逆さにすると、「0＝0÷6」なのです。ちょっと奇抜だと思うんですが、逆さの見間違いの可能性を示唆する人もいました。お示しの計算も同様に、「8÷0＝0」が「0＝0÷8」です。机を挟んで教えているときに、こういう見間違いが起こらないと保証できるわけではないかもしれません。

「え？」と思うようなことを聞くと、つい人に教えたくなります。教えるときに、つい勝手に強調したり、思い付きを述べて説得力を持たせようとしたりしてしまうことはよくあります。0で割ると0も、そういうデマの発生と似た面があるかもしれません。

　しかし、数学で駄目なものは算数でも駄目。それは崩せない、譲れないところです。0で割ると0だという教材が特定できれば、抗議し、周知する必要があります。

回答No.4

rosso2ch

＞小学校の教科書では「ゼロで割るとゼロ」ということになっているのでしょうか？

算数では「ゼロで割るとゼロ」と教えられます。

高校で「数学３」（昔は「微分・積分」）という教科の中で「極限」という分野を学んで初めて「0」の特殊な性質について考える事になっているようです。

「数学３」は選択科目のようで、選択しない生徒は該当事項を知らないのが一般的なのではないでしょうか。

補足

> 算数では「ゼロで割るとゼロ」と教えられます。

そうだったのですか！

自分が小学校時代には少なくとも教科書には書いてなかったと思うのですが
そういう方針になったのですかね。。。

回答No.3

kuzuhan

ゼロの意味の受け取り方ですね。

小学校の算数の学習沿って除算を視覚的にすると
リンゴが10個ありました。これを1人で分けると、1人何個もらえるでしょうか。
→10個のリンゴを人数で割ったときの商（答え）だから、1人10個（10/1＝10）

ゼロ除算（０で割る）を視覚的にすると
リンゴが10個ありました。これを0人で分けると、1人何個もらえるでしょうか。
→リンゴは10個あるけど人数が0なので渡す人がいない（商＝答えに0が立つ）から、人に渡す数が無いから1人0個。（ついでにあまり10）
問題としては前提が成立しないのでエラーとなって、答えは「不明」。但し、ゼロは「何も無い」を意味するなら、答えとしてはゼロとする。ということでしょう。
割り切れる数としての０とするなら、求めるのは余りではなく商ですから、商になる数が答え・・・という強引な考え方になりますが、算数としてはありな教え方にはなりますね。

数学としては0は何も無い数であり、0で割るのは無意味な行為になります。
高校数学以上としては「0は何も無い数であって、何もない数で何かの数を割ろうとしても問題が成立しない」つまり数学的な答えを求めることが出来ないゼロ除算が発生するため、そもそもそのような問題は扱うものではないと教えることになります。これはゼロ除算が未定義（使えない）ということにしておかなければ、ゼロ除法を他の演算式に置き換えることができなくなるためです。

計算上、ゼロ除算が未定義としておかなければ
0*1＝0*2
をゼロ除算して
0/0*1＝0/0*2
とすると
「0という数」について分数上のは0/0＝1と誤謬してしまい、
1＝2
と誤った結果を返してしまうのです。

補足

仰るとおりだと思います。
ですから、動画の件はびっくりしました。
単に、ベネッセの担当者に知識がなかったのか、あるいは、小学校でそう教えられているのか・・・。気になりました。

回答No.2

chie65536（@chie65535）

＞小学校の教科書では「ゼロで割るとゼロ」ということになっているのでしょうか？

「９÷０＝０と教えている小学校がある」とtwitterで話題になったのは、もう何年も前の事です。

補足

そうなのですね。

小学校によるのでしょうか（一部の小学校だけそう教えている）？
それとも、教科書にそう書かれてしまっているのでしょうか？
どうなんでしょうね。

回答No.1

Comatta23

明らかに間違いですよね。
「ほら、確認のためにゼロとゼロをかけると８になるでしょ？」とまで説明されていればあっぱれですが・・・。

ちなみに高校生に聞いてみましたが、ゼロという答えの子が多く、ひっくり返ってしまいました。

補足

そうですよね。かけ算の逆演算が割り算のはずですし。

>高校生に聞いてみましたが、ゼロという答えの子が多く、

えっ！