小さい会社ですが、人事や総務を担当しております。
雇用保険資格者票ではなく、雇用保険被保険者証ではありませんか?
雇用保険被保険者証であれば、勤務する会社によっては、入社時に渡されているはずです。
会社によっては、会社が保管することもあります。しかし、退職の際の手続きに必要なものでもありません。
勤務する会社に相談のうえで、被保険者証を先にもらうことも可能かもしれません。
新しい勤務先での雇用保険手続きに必要なのは、証明書ではなく、雇用保険被保険者の番号なのです。
現在の会社以前に勤務経験があり、雇用保険番号を引き継いでいるような場合には、過去の雇用保険関係の資料にも書かれていることでしょう。
初めての勤務先をやめるということであれば、今の会社に番号だけでも教えてもらったり、被保険者証のコピーをもらってもよいでしょう。
このような手続きについて、各会社の事務担当者がしっかりと勉強されていることがなかったりすることが多いです。そして、状況によってはすぐに用意できないということまで考えていないことも多いことでしょう。
さらに、書類を預かる担当者と手続き担当者が分かれていることもあり、手続きを社会保険労務士が行うことも多いことでしょう。その場合には、手続きをする人からの指示だけであなたに求めていることも多いのです。
したがって、事情を話して待ってもらうこともおかしくはありませんし、今の勤務先に願い出るのもおかしくありません。ただ、担当者の性格によっては、きつく言うことで嫌がられることもありますし、面倒くさがられることもあるでしょう。
新しい勤務先でそのようなこととなれば、仕事がやりにくくなります。また、今の勤務先で円満でなくなると、雇用保険を含むその他の手続きを含め、スムーズに対応してくれなくなる恐れもあります。
上手にそれぞれの会社の担当者に申し出ることが大切だと思います。