長方形において動点を等角で反射させる問題
問題
たて42cm 横60cm の長方形がある。
いま図の頂点Aから矢印の方向に光を発射する。
光は辺では等角に反射し、どこかの頂点に達すると、そこで止まる。
では、この光は何回辺で反射して止まることになるか。
答え
動きを縦方向と横方向に分解して考える。
縦に42cm進むと横に21cm進む。
いま問題の指示である頂点に達するということは
nを整数として縦にn辺分 横にも1辺の整数倍進むということである。
すると縦にn辺分進んで止まるとき、横に進む7/20×nは整数でなければならない。
これを満たす最小のnは20であり、このとき光は頂点に達する前に
辺ADもしくは辺BCで19回
辺ABもしくは辺CDで6回反射するので
答えは25回である。
という問題なのですが、回答の部分で「縦に42cm進むと横に21cm進む」という
性質がずっと同じであるという事実を使っていますよね?
これはなぜこう言えるのでしょうか?
自分で考えてみたところ辺ADと辺BCで反射しているときにはこの性質が不変
であることがわかりましたが
一回目に辺DC反射するときにこの性質が不変であるということの証明ができませんでした
またそれ以後もずっと不変であるという事実も証明できませんでした
なぜこうなるのか教えてください
※図は私がペイントで書いたので縦横比、図上の反射回数はかなり不正確です
辺ABCDの名前と42cm,60cm,21cmの数値だけが正しいです