長方形において動点を等角で反射させる問題

質問

問題
たて42cm　横60cm の長方形がある。
いま図の頂点Ａから矢印の方向に光を発射する。
光は辺では等角に反射し、どこかの頂点に達すると、そこで止まる。
では、この光は何回辺で反射して止まることになるか。

答え
動きを縦方向と横方向に分解して考える。
縦に42cm進むと横に21cm進む。
いま問題の指示である頂点に達するということは
nを整数として縦にn辺分　横にも1辺の整数倍進むということである。
すると縦にn辺分進んで止まるとき、横に進む7/20×nは整数でなければならない。
これを満たす最小のnは20であり、このとき光は頂点に達する前に
辺ADもしくは辺BCで19回
辺ABもしくは辺CDで6回反射するので
答えは25回である。

という問題なのですが、回答の部分で「縦に42cm進むと横に21cm進む」という
性質がずっと同じであるという事実を使っていますよね？
これはなぜこう言えるのでしょうか？
自分で考えてみたところ辺ADと辺BCで反射しているときにはこの性質が不変
であることがわかりましたが
一回目に辺DC反射するときにこの性質が不変であるということの証明ができませんでした
またそれ以後もずっと不変であるという事実も証明できませんでした

なぜこうなるのか教えてください

※図は私がペイントで書いたので縦横比、図上の反射回数はかなり不正確です
辺ABCDの名前と42cm,60cm,21cmの数値だけが正しいです

回答No.1

j-mini27 · ベストアンサー

結論から言えば、問題文に「光は辺では等角に反射し」の条件があるから、と言えます。

以下、文章のみで説明するため、分かりにくくなりますが。

　「辺ＤＣで反射した後の、
　　　辺ＡＤもしくは辺ＢＣへの到達地点」を考える必要があります。

　仮に、辺ＡＤで反射した後に、辺ＤＣで反射する場合、
　辺ＢＣを、点Ｃ方向に延長しておき、辺ＡＤから辺ＤＣへの光の進行方向も延長して交点Ｅを求めます。

　点Ｃから点Ｅまでと同じだけの距離分、点Ｃから点Ｂ方向へ戻った地点が、上述の到達地点ということになります。（等角に反射するという条件のため）

　辺ＡＤの反射した点から点Ｅまでの距離については、辺ＡＤと辺ＢＣで反射しているときと全く同様に考えることができます。

　さらに、辺ＡＤでの反射から辺ＤＣでの反射前までの軌道は同じであり、
　辺ＤＣでの反射後の軌道は方向が異なるだけで、角度や移動距離は等しいので、辺ＡＤや辺ＢＣで反射しているときと同様に考えることができます。

　辺ＡＢの側での反射も同じように考えられるため、
　問題文中の性質が（どこかの頂点に達するまで）ずっと不変であると言えます。

　文字だけで分かりにくくてすいません。

お礼

なるほど、あきらかに不変ですね
初等幾何的な手法にプアーな自分が恥ずかしいです

文字だけでもとてもわかりやすかったです！
回答ありがとうございました

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
「枠の中に納まらない」考え方もあります。

添付の図で、左側の問題は作図の問題としてよく見る形だと思います。
「点Aから点Bまで行くのに、川を経由していくにはどの点を中継するのが最短となるか」

作図のポイントとしては、点Bの対称点をとるところになります。

いまの長方形（ビリヤード台）の問題も、台をパタパタと折り返したところを考えてみます。
すると、球の軌跡は直線となって現れます。
そして、この軌跡が「折り返して並べた長方形の角」に初めてくるところで終わりです。
（ちょうどビリヤードでもポケットインですね）

折り返しているので、どの角が元の長方形のどの角に対応しているかは、
間違えないようにしないといけません。

お礼

回答ありがとうございます
これは応用が利く考え方ですね
教えてくださって感謝です