不等式

質問

ax∧2＋4x＋a＞3が全ての実数xについて成り立つ時
定数aの値の範囲を求めよ。

上記をわかりやすく教えて頂けますか？

回答No.5

shuu_01 · ベストアンサー

もう既にいくつも回答がありますが、

不等式（２） で回答しているので、ついでに回答しときます

a x^2 ＋ 4x + a －3 ＞ 0　ってことは、

y ＝ a x^2 ＋ 4x + a －3　というグラフが すべての x について
x軸より上で、x軸と交わらないこと

y ＝ a （x^2 ＋ (4/a) x ＋ (2/a)^2 ） － 4/a ＋ a －3
　＝ a （x ＋ 2/a）^2 － 4 /a ＋ a － 3

a はマイナスだと、x 軸より下の部ができちゃうので a ＞ 0

最小値の － 4 /a ＋ a － 3 ＞ 0

a ＞ 0 なので a をかけても大丈夫

－4 ＋ a^2 － 3a ＞　0

（a － 4）（a ＋ 1） ＞ 0

a ＞ 0 なので a ＞ 4

【答え】 a ＞ 4

お礼

ありがとうございます。
わかりやすく、助かりました。

回答No.7

178-tall

修正の上塗りしながら、ファィナル？

>ax^2 + 4x + a - 3 > 0 が全ての実数xについて成り立てばよい…でよろしいでしょうか？
>は可らしいけど、そのあとの推論は錯誤。

>ax^2 + 4x = a{x + (2/a)}^2 - (4/a) なので、
>　{x + (2/a)}^2 ≧0 > 3 + (4/a) - a が成り立てばよさそう。
>みたいで、以下ドミノ倒し。

この不等式は a>0 にしか通用しないけど、ひとまず結果を。
　0 > 3 + (4/a) - a = (-a^2 + 3a + 4)/a = -(a+1)(a-4)/a
　　↓
　a> 4

a<0 だと、
　{x + (2/a)}^2 < 3 + (4/a) - a が成り立たねばならず、左辺に有限な上限は無い。
つまり「不可解」。

お礼

何度もありがとうございます。

回答No.6

178-tall

ANo.4 はデマだった模様。

>ax^2 + 4x + a - 3 > 0 が全ての実数xについて成り立てばよい…でよろしいでしょうか？

は可らしいけど、そのあとの推論は錯誤。

ax^2 + 4x = a{x + (2/a)}^2 - (4/a) なので、
　{x + (2/a)}^2 ≧0 > 3 + (4/a) - a が成り立てばよさそう。
みたいなので、以下ドミノ倒し。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

178-tall

ax^2 + 4x + a - 3 > 0 が全ての実数xについて成り立てばよい…でよろしいでしょうか？

ax^2 + 4x = a{x + (2/a)}^2 - (4/a) なので、a - 3 - (4/a) > 0 が成り立てばよさそう。
　(a^2 - 3a - 4)/a
と通分したとき、
a>0 ならば a^2 - 3a - 4 > 0 が、
a<0 ならば a^2 - 3a - 4 < 0 が成り立てばよさそう。　　…(0)

a^2 - 3a - 4 = (a+1)(a-4) でしょうから、
　a<-1 にて a^2 - 3a - 4 > 0　　　…(1)
　-1<a<4 にて a^2 - 3a - 4 < 0　　…(2)
　4<a にて a^2 - 3a - 4 > 0　　　…(3)

(0) の条件と照合してみる。
ここで、(…)/a の分母 a を勘案。

　(1) → NG
　(2) → -1<a<0 なら OK
　　　→ 0<a<4 なら NG
　(3) → OK

…で、罠に引っかかったのかナ？

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

zacky93141

a<0のとき、上に凸の二次関数なので、必ずax^2+4x+a<3となるxが存在するので不適。
同様に、a=0のときも4x<3となるxは存在するので不適。

よってa>0
f(x)=ax^2+4x+a-3>0 を満たすことは、f(x)=0の解が存在しないことと同値

判別式D/4 = 4-a(a-3) < 0
a^2-3a-4 > 0
(a-4)(a+1)>0
a<-1 または a>4

回答No.2

Willyt

与式が成立するときは

y=ax^2＋4x＋a-3 を図示すると、この放物線がｘ軸との交点を持たないので、右辺の判別式が負という式が成り立ちます。

つまり D/4=4-a(a-3)<0 となります。　ここから後の計算は御自分でどうぞ。

回答No.1

asuncion

ax^2 + 4x + a > 3
を変形して、
ax^2 + 4x + a - 3 > 0
この2次不等式がすべての実数について成り立つとは、
ax^2 + 4x + a - 3 = 0
という2次方程式が実数解を持たないことと同値である。
2次方程式が実数解を持たないための条件は、判別式 < 0
D/4 = 2^2 - a(a - 3) < 0
a^2 - 3a - 4 > 0
(a + 1)(a - 4) > 0
∴a < -1 または a > 4