＝（等号）を使わない数学はありますか

質問

不変量や定義とも関係があるのかと思いますが、小学校で四則演算を習い始めて以来だんだんと等号というものが分からなくなってきました。もっとも不等号というものもありますが・・・

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

ANo.4へのコメントについてです。

> 発見をすることが事実上不可能である

　大発見は無理だとしても、例題の解説を見て「なるほどそーやったのか」と理解し、練習問題を同じ要領でやってみる。頑張って頑張って、出来た、となればそれは「こーやったら出来るんだ」ということを発見をしたのには違いない。自分だけの小さな発見ですが、でも楽しさがあります。
　さらに、「こーやった」が解説通りのまんまであるよりも、「例題ではそーやったけど、練習問題では自分でもうひと工夫してこーやった」という方が楽しさが大きいですね。

お礼

おかげさまで、少し勉強の仕方がわかったように思います。いつもありがとうございます。

回答No.4

stomachman

ANo.3へのコメントについてです。

> 等号は発見と関係はないでしょうか。

ANo.3に、「PとQは、表現（見かけ）は違うけれども、実は全く同じ("=")である。」ということは重要な知見でしょ、と書きました。つまり、この種の知見を発見したら、それはひとつの成果です。と言う意味で、おおいに関係があると言えましょう。
　中学校の幾何の証明だって、「ある手順で決めた点Pと、別の手順で決めた点Qとが、実は同じ点である」だとか「ある手順で決めた角度の大きさPと、別の手順で決めた角度の大きさQとが、実は同じである」などを証明しているのです。

お礼

数学が苦手の私のような人間にとって数学が楽しくないのは発見をすることが事実上不可能であるからではないかと納得できました。中学で習う数学の中で何か発見できないか模索してみたいと思いました。質量がエネルギーと同じというアインシュタイン式も同じなのでしょうね。

回答No.3

stomachman

等号（それがどんな記号で表されるにせよ、" = "と同じ意味を持つもの）を使わない数学、ですか…

　論理学の理論であって「その理論の内部では等号が出てこない」ようなのは幾らもあります。しかしながら、その理論Xを外から見たとき、「Xにおけるある表現Pは、Xにおける別の表現Qと全く同じコトである」ということが分かると、これはXに関する重要な知見ですね。このことを表すにはP=Qと書くしかない。ただしこの等式は論理学理論Xの式ではなくて、Xの性質を研究する数学理論（これを「超X理論」と言うんですが）における式です。

　等号というのは「全く同じコトである」って意味です。もっと正確に言うと、x = y というのは、「xに関して成立つどんな性質も、yに関しても成立つ。xに関して成立たないどんな性質も、yに関しても成立たない」という意味。さらに別の言い方をするなら、「同じひとつのモノを、xと表現することもできるし、yと表現する事もできる」ということです。
　なので、表現（文字の列）そのものだけがモノである（表現とモノが直接対応している）ような理論Xにおいては、等号は不要です。たとえば、数2を表すのに1+1という表現は許さない理論、つまりどんな計算もできず大小の比較もできずにただ数字を並べるだけ、という理論なら等号の出番はありません。しかしこれは数学じゃないですね。

> だんだんと等号というものが分からなくなってきました

　式だけ見ても駄目なんです。その式にはいろいろ付帯する情報が必ずあるんですが、多くの場合、「分かってるよね？」ってことで省略されてしまう。その省略された内容を読み取る必要があります。
　もちろん、省略しないできちんと書くのが正式であり、そのためには、記号論理を使うか、あるいは文章で説明するわけです。
　たとえば、
　　「a=b」
とだけ書いてあったとしても、そもそもこれが真（正しいの）か、偽（正しくないの）か、これだけじゃどっちなのかすらも分かりません。でも
　「新しい記号aを使って、a=b と書くことにする。」
と書いてあれば、それ以降は a=bは真なのだと分かる。また、
　「もし a=b だとすると…」
と書いてあれば、それ以降は「a=bは真だ」という仮定のもとでの話なのだな、と分かる。つまり、この仮定が有効である範囲内では「a=bは真だ」と考える訳です。が、範囲が終わると以後は「a=bが真か偽かは不明」に戻る。なので、その範囲がどこからどこまでなのか、を見極めなくてはなりません。
　「xの方程式 x+2 = 4」
と書いてあれば、これは「x+2 = 4が真になるようなx」という意味です。だから、それ以外のxではx+2 = 4は偽なのです。一方
　　「式を変形して、x+x = 2x」
ということなら、これは「x+x = 2xは、どんなxについても真」という意味であり、これは恒等式と呼ばれます。

　ところで、計算はできるけど文章題はまるでダメという小学生のうち、かなりの割合が「文章をろくに読みもしないで、文中にでてくる数字をただ拾い出し、テキトーに + とか - とかを挟んで式を作って計算する」というアホなことをやっています。もし式だけに注目してしまったら、このアホ小学生と同じことになっちゃう。どういう意味でその式が書かれているのか、を読み取ることが肝心です。

お礼

ご丁寧に説明いただきありがとうございます。勉強させていただきます。

補足

等号は発見と関係はないでしょうか。

回答No.2

noname#190065

「等号を使わない数学」とおっしゃってる意味が汲み取れませんが、必要なければ使わないし、必要なら使うのが数学です。等号を使わなくても、他の記号を使って表すことにすれば＝は使わなくて済みます。
　等号(=)は、左辺と右辺が「常に等しい」（恒等式）とある値で「等しいなる」（方程式）との意味を併せ持っています。その辺を混乱されてるのでしょうか。
恒等式→2×□ + 4 = □×2 + 4　…□内の数字はいくつであっても成り立つ（等しい）
方程式→2×□ + 4 = □×3 　　　…□内の数字は4だけ成り立つ（4のときだけ等号が成り立つ）

お礼

ご教示ありがとうございます.
たとえば初歩的な幾何学などでもどこかに等号が隠されているからこそ解けるのかというような意味でした。

回答No.1

DarkMoon

等号は、右の数式と、左の数値や数式などが等しいことを示す記号です。

等しいことを利用して、理科の勉強などで応用的な計算をします。

不等号の他にも、等しくはならないことを示す不等号
疑似値である事を示す記号、以上や以下、未満などを示す記号がありますが
それは小学校ではなく、中学校に進んだ後で習うことだと思いますので、
今は、等号をしっかり使った計算を身につけて下さい。

お礼

がんばります。