同じ面積S[m^2]の薄い導体円板A,B,Pを, それぞれの面が平行で, 面の中心が面に垂直な共通の軸上にあるように配置し, Aは直接に接地(アース)し, BはスイッチKを通して接地できるようにしておく. また, 導体円板A,Bは固定してあり, その間隔をd[m]とする. いま, Aの位置を原点OとしてAの面に垂直にX軸を定め, はじめ, PをX=x[m] (0<x<d)の位置に静止させておく.
これらの装置は真空中にあり, 真空の誘電率をεo[F/m]とし, 導体円板A,B,Pはその半径がdに比べて十分大きく, はじめ, 電荷を帯びていないものとする. なお, 接地されている導体の電位を0[V]とする.
(1)
スイッチKを閉じてから, 導体円板Pに電気量Q[C](Q>0)を与えると, AとPの間の電界の強さはBとPの間の電界の強さの (ア) 倍となる. また,Pの電位は (イ) [V]となり, Aが帯びた電気量は (ウ) [C]となる.
問1
AとP及びBとPの間に蓄えられた静電エネルギーの和をU(x) [J]とする. U(x)を, d, x, εo, S, Qを用いて表し, U(x)が最大となるxの値および最大値を求めよ.
スイッチKを閉じたまま, 導体円板PをX=x[m]の位置からX=x+Δx[m]の位置まで軸に沿って微小距離Δx[m]だけ移動させるとき, U(x)[J]の変化をΔU(x)[J]とし, (Δx)^2を含む項を無視すれば(以下必要ならばΔxについて同じ扱いをしてよい), ΔU(x)は, d, x, εo, S, Q, Δxを用いて (エ)と表すことができる. したがって, 静電気力のした仕事が静電エネルギーの減少量に等しいことを用い, Pに作用する静電気力を右向きを正としてf(x)[N]とすると, f(x)は, d, x, εo, S, Qを用いて (オ) と表せる.
(2)
次に, 導体円板Pの電気量をQ[C]に保ったまま, BとPの中心を下図のように絶縁体で作られた軽いバネで結び, Pを軸に沿って自由に移動できるようにしてからX=d/3[m]の位置においたところ, Pはその位置で静止したままであった. このとき, スイッチKは閉じたままであり, バネは自然長よりd/9だけ伸びていた. このバネのバネ定数は (カ) [N/m]である. ただしバネの誘電分極による影響は無視できるものとする.
いま, PをX=d/3[m]の位置からわずかにずらして放すと, PはX=d/3[m]の位置を中心としてX軸の方向に微小な振動をした. Pが微小距離Δx変位して, X=d/3+Δx[m]の位置にあるとき, Pに作用するバネの弾性力と静電気力との合力を右向きを正としてF[N]とするとFは, d, εo, S, Q, Δxを用いて (キ) と表せる. したがって, Pの質量をm[kg]とし, Pの微小振動の周期をT[s]とすれば, Tは, m, εo, d, S, Qを用いて (ク)と表せる. ただしこの過程におけるジュール熱の発生は無視できるものとする.
問2
Pがこの微小振動をしているとき, PがX=d/3[m]の位置を通過する瞬間に, スイッチKを開いた. その後のPの運動の周期T'を求めよ.
(ア)
AとBは接地しているのでAP間とBP間の電位差は等しい. これをVとおくと, AP間の電界の強さは V/x, BP間の電界の強さは V/(d-x)となるから, 答えは (d-x)/x
(イ) (ウ)
PのA側に蓄えられた電気量をqa, PのB側に蓄えられた電気量をqb, Pの電位をVとおくと,
qa+qb=Q, qa=εoSV/x, qb=εoSV/(d-x)
よって V=(d-x)xQ/εoSd
また, Aに蓄えられた電気量は, -qa=-(d-x)Q/d
問1
U(x)={(d-x)xQ^2}/εoSd
(d-x)x=-(x-d/2)^2+(d^2)/4 より, これが最大となるのはx=d/2のときで, このときU(x)は最大値 (dQ^2)/4εoSをとる.
(エ)
ΔU(x)=U(x+Δx)-U(x)
={(d-x-Δx)(x+Δx)Q^2}/εoSd-{(d-x)xQ^2}/εoSd
={(d-2x)ΔxQ^2}/εoSd
(オ)
f(x)Δx=-ΔU(x)より, f(x)={(2x-d)Q^2}/εoSd
(カ)
バネ定数をkとすると, バネの弾性力は右向きにkd/9, 静電気力は右向きに f(d/3)=-(dQ^2)/3εoSd
力のつり合いより,
-(dQ^2)/3εoSd+kd/9=0
⇔k=(3Q^2)/εoSd
(キ)
F=k(d/9-Δx)+f(d/3+Δx)
=-(2ΔxQ^2)/εoSd
(ク)
(キ)より,Pの運動方程式は
ma=-(2ΔxQ^2)/εoSd
K=(2Q^2)/εoSdとおくと,
ma=-Kxと表せるから, T=2π√(m/K)=(2π/Q)√(mεoSd/2)
答と考え方があっているかチェックをお願いします.
あと, 問2がわからないので教えて下さい.
