べき級数展開 なぜ |z|<1?
次の関数を、括弧内を展開の中心としてべき級数展開せよ。
f(z) = z^2 / (1-z^2)
(z = 0)
まず、u = z^2 として、u = 0 でマクローリン展開しました。
g(u) = u / (1-u)
a[n] = { g^(n) (0) } / n!
= 1 / { (1-u)^(n+1) } | u=0
= 1
よって、
g(u) = Σ[n=1,∞] u^n
収束半径は
1/R = lim[n→∞] 1/1 = 1
となるから、
べき級数展開は|u| < 1 に対して成立。
したがって、u = z^2 を用いて置き直すと、
f(z) = z^2 / (1-z^2)
= Σ[n=1,∞] (z^2)^n
= Σ[n=1,∞] z^2n
(|z^2| < 1) ←
・・・と計算しました。
Σ[n=1,∞] z^2n は合っていたんですが、
解答では収束半径のところは
(|z| < 1)
になっていて2乗がありません。
収束半径なので |z| でもなんとなく納得するのですが、
「u = z^2 を用いて置き直す」という工程と矛盾してるようで気持ちが悪いです・・・。
2乗が消える理由、または「u = z^2 を用いて置き直す」をスキップする理由を教えてください。お願いします。