ＮＡＮＤゲートのみによるＥＸ－ＯＲ

質問

ＮＡＮＤゲートのみによるＥＸ－ＯＲが動作する事をブール代数の公式を用いて理論的に証明したのですが…
全然分かりません、誰か説明して頂けませんか？

回答No.3

hirotn

NANDのみによる、EX-OR（以下XORとします）は承前とさせてください。
また、
￢否定
∧かつ　(A ∧ B) A and B ￢(A ∧ B) A nand B
∨または（A∨B）　A or B とします。

まずNANDだけを使って全部書きます。

￢( ￢( A ∧ ￢ ( A ∧ B ) ) ∧　￢( B ∧ ￢ ( A ∧ B ) ) )　　・・・（１）

ここから(A ∧ ￢B)∨(￢A ∧ B)　　　　　　　　　　　　　　　 ・・・（２）

まで持っていくわけですが、さっぱりわかりません。ド・モルガンの法則を用いて（１）式を、
前半・後半にわけます。一番最初の否定が消えます。

￢￢( A ∧ ￢ ( A ∧ B ) ) ∨　￢￢( B ∧ ￢ ( A ∧ B ) )　　・・・（３）

￢が2つ並ぶと元に戻るので（ ￢￢A = A )、

( A ∧ ￢ ( A ∧ B ) ) ∨　( B ∧ ￢ ( A ∧ B ) )　　　　・・・（４）

同じようにして、￢ ( A ∧ B )の部分もド・モルガンの法則で展開します。

( A ∧ ( ￢A ∨ ￢B ) ) ∨　( B ∧ ( ￢A ∨ ￢B ) )　　　・・・（５）

と、なりました。分配則(x ∨ y)∧ z = (x ∧ z)∨(y ∧ z)から、
(A ∧ ￢A) ∨ ( A ∧ ￢B ) ∨ ( B ∧ ￢A ) ∨ ( B ∧ ￢B )　　・・・（６）

が得られます。（５）の∨を中心に左半分、右半分それぞれに分配則を適用したためです。

A ∧ ￢A や、 B ∧ ￢B は補元則より1ですからこの演算に影響しません。故に、

(A ∧ ￢B) ∨ (B ∧ ￢A)　・・・（目的のXOR）

が得られて証明終了です。

回答No.2

Higurashi777

普通にこの辺を見ればわかると思いますが・・・。
http://ja.wikipedia.org/wiki/XOR%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%88
http://tamuro.gooside.com/guen/NandExor.html
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/boolean2.html

以上、ご参考まで。

回答No.1

Tacosan

そもそもあなたのいう「ＮＡＮＤゲートのみによるＥＸ－ＯＲ」がどんなものか全くわからないんですけどね.