整数問題 パターンの見抜き方

質問

問題
1^4 -1 2^4 -1 3^4 -1 4^4 -1 ・・・ 98^4 -1 99^4 -1 100^4 -1
の中に10の倍数はいくつあるか

回答
この中の10の倍数＝この中の1の位が0のもの
であるので各数の1の位だけを考えていくと
0 5 0 5 4 5 0 5 0 9という周期で1の位が移り変わっていることがわかる
よって10周期分なので40個

という問題のなのですが、回答の部分でわからないところがあります

この中の10の倍数＝この中の1の位が0のもの　であるので
1の位に着目し、1の位がどうなるかを調べていくのは私も思いつき
10個ほど調べてみたのですが、パターンが見抜けず解けませんでした

回答には『各数の1の位だけを考えていくと
0 5 0 5 4 5 0 5 0 9という周期で1の位が移り変わっていることがわかる』
とだけ書いてあるのですが、なぜこのパターンがあると見抜けるのでしょう？

例えば10個しらべた程度ではあきらかにこのパターンだ！！とはならないはずです
もっと多く調べているのでしょうか？　それはあまりにも大変な気もします
それとも何かうまい考え方をするとたくさんの数を調べなくてもパターンが見抜けるのでしょうか？

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

もうちょっと書き足すと
(10m+ n)^4- 1＝ (10の倍数)+ n^4- 1

と分解すれば、最悪でも 10個の周期になる検討はつきますよね。

回答No.3

alice_44

第 n 項について考えるとき、
n の一の位の数字は、十種類しかない。

回答No.1

f272

(n+10)^4-1=n^4-1+(10の倍数)
でしょ。