回転体のつりあいについて

質問

回転体のつりあいの問題がわかりません。

問題
３個の回転質量M１、M２、M３はそれぞれ8kg,6kg,12kgで、軸に垂直な同一平面上に軸からの距離を10cm,8cm,6cmのところで回転している。M１からM２、M３への角を90°、210°とするとき、これとつりあわせるためのM4の回転質量を軸から12cmのところにつけるとすると、その大きさとM１からの角を求めよ。ただし有効数字３桁とする。

M４の質量をm、M１とM４の角をθとすると
同一平面上にあるので、静的つりあいにすれば動的つりあいにもつりあうので

8×10×cos0° + 6×8×cos90° + 12×6×cos210° + m12cosθ =0
8×10×sin0° + 6×8×sin90° + 12×6×sin210° + m×12×sinθ =0

んで移項したりで計算すると
m×cosθ＝－1,47
m×sinθ＝－１

∴m^2 = 3,16 ∴m = 1,77kg

tanθ = m×sinθ/m×cosθ= 0,6802

という計算まではいけたのですが、ここから先がイマイチわかりません。
関数電卓で　arctan(0,6802) = 34,2°　となって
答えは214,2°になるのですがこの理由がわからないです。

できるだけ計算途中をはぶかずに解説よろしくお願いします。

回答No.1

yuzuru123234345 · ベストアンサー

8×10×cos0° + 6×8×cos90° + 12×6×cos210° + m12cosθ =0
8×10×sin0° + 6×8×sin90° + 12×6×sin210° + m×12×sinθ =0
この2式を
8×10×cos0° + 6×8×cos90° + 12×6×cos210° = -m12cosθ
8×10×sin0° + 6×8×sin90° + 12×6×sin210° = -m×12×sinθ
と変形し、
（下の式）/(上の式)と割ると、tanθ=0.68になります。
arctan(0.68)=34.2°

ここで注意いなければならないのは、tanは周期１８０°（あるいはπ）の関数であるということです。
つまり、tan(34.2°)＝tan(34.2+180°)=0.68となっていて、解の候補が2つあります。
34.2あるいは180+34.2です。

ここから解をしぼります。
質問者が計算なさった２式
m×cosθ＝－1,47
m×sinθ＝－１
を見ると、sinθ、cosθともに負であることが分かります。
よって、θがある領域に限定されることが分かります。

もうお分かりですか？

お礼

あーーー！なるほど
180+34.2で答えになるけどなんで「そっち」だけと断定できるかわからなかったんですよね

ありがとうございました