テンキー錠について、果たして何通り?泥棒のつもりで

質問

生臭い質問です。
　ある部屋の入り口がテンキーロックになっています。よく見ると、2358の４つのボタンに使用した形跡があります。
・このテンキー装置は４桁から７桁の暗証番号が設定できます。
　(例)　　2358　　2223855　2228355

　この場合、
1) 何種類の組み合わせが考えられるでしょうか。
2) またきちんと秩序立てて暗証番号を指定した場合、最悪、何分かかるでしょうか？
　ただし、この装置は、
　　a) 4階連続して間違った番号を入力すると1分間、ボタン入力を停止します。
　　b) リセットして 一回の入力に、２秒かかるとします。
「もちろん最短は２秒です」

　場合わけをして、考え方、式の立て方を教えてください。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

#2さんの回答は、7ケタの組合せでaabbccdとなるパターンが抜けていますね。
このパターンの組合せを加えると合計は10224通り

最悪かかる時間は、48時間15分48秒

お礼

ありがとうございます。
ちょっと、公式的なものに整理してみます。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
#1さんの言われているとおり、隣り合う数の入れ替わりもですが、
同じ数の入れ替わり（例：最初の 4！で並べられた「2」とあとから並べた「2」の入れ替わり）
も考慮しなければなりません。

効率が悪い考え方かもしれません。
以下では、4種類の数字を一度アルファベット ａ, ｂ, ｃ, ｄで表します。

1)何種類の組み合わせが考えられるでしょうか。

【5ケタの場合】
　5Ｃ4× 4！までの計算では、
　ａ ｂ ｃ ○ ｄ

　というように、最後の○に何を埋めるかを考えることになります。

　もし○にａを埋めたとすると、「ａ ｂ ｃ ａ ｄ」という並びになりますが、
　「○ ｂ ｃ ａ ｄ」で、○にａを埋めたものと同じ並びになってしまいます。
　このような重複を排除しなければなりません。

　重なる数は 1種類 2個だけなので、2で割ればよいです。
　5ケタの組合せの数は、
　5Ｃ4× 4！× 4÷ 2＝ 10× 4！とおり

　となります。

以下、同様に 6ケタの場合と 7ケタの場合を考えます。
この場合分けでは、○に埋める数の組合せも考えないといけません。

6ケタの場合であれば
・「ａ ａ」と同じ数を 2か所の○に埋める場合
・「ａ ｂ」と異なる数を 2か所の○に埋める場合

というさらなる場合分けを考えます。

この考え方を進めると、それぞれの組合せは以下のようになります。
　6ケタの組合せの数は、65× 4！とおり
　7ケタの組合せの数は、245× 4！とおり

結果、4～7ケタの数の組合せは以下のようになります。
( 1+ 10+ 65+ 245 )× 4！＝ 7488とおり

2) またきちんと秩序立てて暗証番号を指定した場合、最悪、何分かかるでしょうか？
　単なる計算式で
　7488[回]× 2[秒]＋ (7488÷ 4- 1)[回の休み]× 60[秒]
　＝ 35時間 20分 36秒

　ってな感じになりました。

お礼

遅くなってすみません。
まだ頭の中が整理できていませんが、とりあえずお礼を
道筋は色々考えてその方法しかないようです。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

4桁の場合、4!となることはわかります。従って、24通り。
5桁の場合、4桁分の4!の組み合わせと、5桁目をどの位置に入れるかで5通り。どの数字を入れるかで4通り。従って、480通り。
6桁の場合、5桁の場合のやり方と6桁目をどこに入れるか、また、どの数字を入れるかだから、480*6*4=11720通り。
7桁の場合、同様にして11720*7*4=328160通り。

足すと340384通り…あっ、隣り合う数字の入れ替え分を差し引くの忘れてた…面倒だからやりたくない。
まあ、これよりも少ないはずだから、34万通りで計算したら概算で85000分。ひたすらやり続けても2ヶ月はかからない。

お礼

ありがとうございました。