10個の文字から4文字選んでできる5桁は何種類？

質問

問1)
0-4までの4個のボタンがあります。
この4個を用いてできる4桁の文字列は何通り？　・・・4×3×2×1 これはわかる。
この4個を用いてできる5桁の文字列は何通り？　
この4個を用いてできる6桁の文字列は何通り？
※重複して使用しても良いが必ず4個の数字を使うこと。なお、先頭に0が合ってもよい。

問2)
0-9までの10個のボタンがあります。
そのうちの4個を用いてできる4桁の文字列は何通り？　・・・10×9×8×7 これはわかる。
そのうちの4個を用いてできる5桁の文字列は何通り？
そのうちの4個を用いてできる6桁の文字列は何通り？
※重複して使用しても良いが必ず4個の数字を使うこと。なお、先頭に0が合ってもよい。

問3)
0-9までの10個のボタンがあります。
そのうちの任意のボタンを用いてできる4桁の文字列は何通り？　
そのうちの任意のボタンを用いてできる5桁の文字列は何通り？　
そのうちの任意のボタンを用いてできる6桁の文字列は何通り？　

[例]
0-9までの10個のボタンがあります。
そのうちの2個を用いてできる3桁の文字列は何通り？
0,1,2,3を選択すると
00123　01123
00132　01132
01023　01213
01032　01231
01203　・・・・
01230
01302
01320
02013
02031
02103
02130
・・・
どのように考えればよいのでしょう。

これはテンキーを使った暗証番号装置について考えていたときに計算できなくて投げ出したものです。
問1は、手垢が付いて明らかに4つのボタンが使用されているのが明白なときに、よく使われる4桁から6桁の暗証番号の場合、何通りの組み合わせがあるだろうか？

問2は、まったく手垢が付いていない場合、もしくは今から番号を設定する場合に何通りあるかです。
　この問には追加が必要で、
そのうちの5個を用いてできる5桁の文字列は何通り？
そのうちの5個を用いてできる6桁の文字列は何通り？
そのうちの6個を用いてできる6桁の文字列は何通り？
まで考えないとならない。
　この場合は、単純に10個の数字を重複を許して4桁、5桁、6桁の文字列を作ることに置き換えられます。すなわち問3と同じ問題になる。

　簡単に出せると思ったら、どうも発想に問題があるようで解けませんでした。

回答No.1

noname#163415 · ベストアンサー

以下はたぶん間違えてる気がするし部分的にしか答えられてないが
改善して正しい答えをより一般的に出してくれることを期待します。

0-4の（4個ではなく）5個の文字。
ということで問題は6桁以上の文字列だろう。
6桁の場合、重複のしかたは「1文字が2回」のみ。
だから
重複する文字×同一の文字が入る桁の組合せ×残りの文字の並べ方
の考え方で5・6C2・4!。
7桁の場合、重複のしかたは「1文字が3回」と「2文字が2回ずつ」。
最初の方はさっきと同様5・7C3・4!。
2つ目は重複する文字の組合せ×1つ目の文字が入る桁の組合せ×2つ目の文字が入る桁の組合せ×残りの文字の並べ方
つまり5C2・7C2・5C2・3!。
この2つの和である。

お礼

ちょっと異なる結果に
123の３文字で4桁の数字を作ろうとすると、

1123　2113　3112　
1132　2131　3121　
1231　2311　3211　
1213
1312　(12通り)
1321

2123　1223　3122
2132　1232　3212
2213　1322　3221
2231　
2312　(12通り)
2321

3123　1233　2133
3132　1323　2313
3213　1332　2331
3231　
3312　(12通り)
3321

3×4C2×2! = 3×6×2 = 36

よさそうな気がします。
　複数書いてしまったので、整理して分けて再質問します。