斜めの漸近線?
「y=(x^2 -2x +2)/(x-1)のグラフの概形をかけ。」
とある高校数学3の参考書に、このような関数のグラフ描図問題がありまして、解説部分には
「(分母の次数)+1=(分子の次数)ならば必ず斜めの漸近線をもつ。
まず帯分数に直してy=x-1 +1/(x-1)とし、このときx→±∞とすると、関数は限りなく直線y=x-1に近づくのでy=x-1が斜めの漸近線である」
と書かれていました。
そこは理解できたのですが、同じ参考書の別の問題の中で関数y=(x^3 -x+1)/x^2のグラフを描く必要があり、この関数も「(分母の次数)+1=(分子の次数)」の形なので、帯分数に直してy=x -(x-1)/x^2より、y=xが漸近線にもつと考えました。
ですが、模範解答のグラフでは斜めの漸近線には触れられておらず、しかもy=xが漸近線ならば通るはずの点(1,1)をグラフ自体も通るようです。
この関数ではなぜy=xが漸近線とはならないのでしょうか?
そして、上記の解説部分にあるような漸近線の求め方では不備があるのでしょうか?
教えてください、よろしくお願いします。
お礼
ご回答下さり有り難うございます。 なぜ比率の式となるのかは理解できました。 有り難うございます。