可換でない環上での（ｘ＋ｙ）＾ｎの展開

質問

普通の可換環上で、（ｘ＋ｙ）＾ｎ　を展開すると、x^i y^(n-i)の係数は、二項係数n_C_iですが、可換でないとき、前からｎ項目は簡単に表現できるのでしょうか？（ｘｘｘｙｘｘｙｘｙとかの表現になると思います）

回答No.5

Tacosan

いや, 「現れる項」と言い換えても同じこと. 「どのような順に現れるのか」をきちんと指定しないと.

エスパー的には「2進表記」とか言ってみるといいかもしれない. もちろん 0 からはじまる.

回答No.4

ramayana

xとyから重複を許してn個並べるすべての順列が現れるのではないでしょうか。で、項数は2^n個になります。ただし、同じ文字が並ぶところは、累乗に書き直す約束にします。

例
　(x+y)^2 = xx+xy+yx+yy = x^2+xy+yx+y^2
　(x+y)^3 = xxx+xxy+xyx+xyy +yxx+yxy+yyx+yyy
　　　　　 　= x^3+x^2y+xyx+xy^2+yx^2+yxy+y^2x+y^3

回答No.3

kabaokaba

＞そもそも「前からｎ項目」って何?

うん．そうなんだけど
もとの質問を
「任意の自然数nに対して，
(x+y)^nの展開のn項目を二項係数を用いて表記できるか」
というふうにエスパー解釈してみた

となると，例えばxに関する降べきの順で表現した場合での
1項目とn+1項目以外はできないから
「任意の自然数nに対して」というところに反して
結論としては「できない」といえるんじゃないかのー

・・・・
ちなみに「普通の環」といって可換環を表現するのは
かなりまずいとは思う．
なにも条件がない場合は可換なんて仮定しちゃいかんのだから

お礼

書き込みありがとうございます。現れる項はどのようなものがあるか、

　　ｘ＾ｎ　　　ｘｙｘ＾（ｎ－２）　・・・・

という意味ではどうでしょうか。

回答No.2

Tacosan

そもそも「前からｎ項目」って何? 例えば行列の積に関して
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
だけど, この右辺を
(A+B)^2 = BA + B^2 + AB + A^2
としちゃいけない理由ないよね.

お礼

書き込みありがとうございました。そうでした。現れる項、という意味ではどうでしょうか。

回答No.1

kabaokaba

>前からｎ項目は簡単に表現できるのでしょうか？

できません．
例えば（2次正方）行列で考えてみればよいでしょう

(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2

で終わりです

お礼

書き込みありがとうございます。