不等式の問題

質問

こんばんは。
またまた質問です(>_<)

不等式√3sinθ+3cosθ-√6＞0を満たすθの値の範囲を求めよ

答えは0≦θ＜5/12π、23/12π＜θ＜2πです。
解説が乗ってないのでやり方がわからなくて困ってます(；´Д｀)
よろしくお願いします。

先ほどの質問に答えて下さったみなさま、ありがとうこざいました。
無事解けました!(*´∀｀)

回答No.3

hrsmmhr

不等式の両辺を2√3で割ってみるとか
1/2をcosπ/3、√3/2をsinπ/3にしてみるとか
√2/2をsinπ/4やsin3π/4にしてみたらいいことあるかも…

回答No.2

ferien

＞不等式√3sinθ+3cosθ-√6＞0を満たすθの値の範囲を求めよ
合成の公式より、√3sinθ+3cosθ＝２√３sin（θ＋π/3）
２√３sin（θ＋π/3）－√６＞０
sin（θ＋π/3）＞１／√２
多分、０≦θ＜２π　だと思いますが、これより、
π/3≦θ＋π/3＜２π＋π/3＝７π/3
θ＋π/3＝Ｘとおくと、
sinＸ＞１／√２，π/3≦Ｘ＜７π/3だから、
単位円では、ｙ＝１／√２より上の範囲だから、
π/4＜Ｘ＜３π/4（Ｘの範囲を満たす）
よって、π/4＜θ＋π/3＜３π/4より、
－π/12＜θ＜５π/12　これを０≦θ＜２πの範囲で表すから、－π/12＝23π/12
よって、23π/12＜θ＜２π，０≦θ＜５π/12　より、
答えになります。

回答No.1

h_m_kiohsi

まず、
√3sinθ+3cosθ=√(3^2+(√3)^2)sin(θ+α)=2√3sin(θ+α)
ただしcosα=√3/2√3=1/2、sinα=3/2√3=√3/2
です。
cosα=1/2、sinα=√3/2となるαはα=π/3です。
よって与式は
2√3sin(θ+π/3)>√6
となります。
これより、sin(θ+π/3)＞1/√2
定義域0<=θ<2πならばπ/3<=θ+π/3<7π/3(問題に0<=θ<2πが抜けています。多分必要な物と思われます)なので、
π/3<=θ+π/3<3/4π、9π/4<=θ+π/3<7/3π
よって0<=θ<5/12π、23/12π<θ<2π