部分積分法

質問

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx
でg'(x)がg(x）積分されるとき
たとえば　g'(x)＝２ｘのとき　g(x）＝ｘ＾２　だと学んだのですが　普通　g(x）＝ｘ＾２+C　であるのに
+Cはつけなくていいのかどうか　それが答えに影響するか　教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>普通　g(x）＝ｘ＾２+C　であるのに
+Cはつけなくていいのかどうか　それが答えに影響するか　教えてください。

つける必要はないです。
答えに影響しません。

Cを付けた場合、結果に影響しないことは以下のように示すことができます。

∫f(x)g'(x)dx=f(x)(g(x)+C)-∫f'(x)(g(x)+C)dx
=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx+Cf(x)-∫f'(x)*Cdx
=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx+C{f(x)-∫f'(x)dx}
=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx+C{f(x)-f(x)-K}
=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx-CK
と定数「-CK」分の差が出ますが、この定数分は∫f'(x)g(x)dxの積分定数（任意定数）C'に吸収されます。つまり「C'-CK」を新たに任意定数Cと置き変えればこのCが左辺の
∫f(x)g'(x)dx
の積分定数に含めてしまうことができます。

つまりg'(x)の不定積分g(x)の定数Cは付けても、付けなくても不定積分（勿論定積分でも）の結果には影響しません。定数分は全体の積分定数（左辺の積分の積分定数）に吸収されるので特に書きこむ必要ないことになります。

お礼

ありがとうございました
くわしく分かりやすい解説ありがとうございました

回答No.2

alice_44

こういうのは、思い悩むよりも
やってみるのが一番です。
実際に、g(x)+C でやってみてください。
そのとき、与式右辺の二ヶ所の g(x) が
同じ関数であることに注意して、
C も両者て同じ値にしておくこと。
そうすれば、C に関係する部分 (f(b)-f(a))C が
右辺第一項と第二項で相殺して、右辺の値に
影響しないことが確認できるでしょう。
(概ねカブリ投稿)

お礼

がんばります
ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

たぶん, 実際に手を動かせばわかると思いますよ.

お礼

すいません、やってみます