3次多項式の因数分解の解法を教えて下さい

質問

f(x)=x^3-(4m+1)x^2+2(m+3)x+2(m-3)

という3次多項式があります。これはx=1のとき、

f(1)=1-(4m+1)+2(m+3)+2(m-3)=0

となり,(x-1)を因数にもつことがわかります。

ここで質問なのですが、「f(1)=0」を求めるのに
効率のいい解法は存在しますか？

それともx=1,x=2, x=-1,...というふうに虱潰しに
探してみるしかないのでしょうか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

No.2 の言い直しが、No.1 の意図どおりでない
ので、ちょっと補足を。

今回の f(x) は、m の係数のひとつ(一次項)が
x の二次式だという特徴的な形をしており、
この係数を 0 にする x は、
タスキガケを思いつかなかったとしても、
二次方程式の解公式を使って求められる。
その x が、m の他の次数の係数も 0 にするか
どうかは、代入してみれば判定できる。
各項の係数が全て 0 になる x があれば、
今回のように、m に依らない f(x)=0 の解があり、
その一次因子が f(x) から括り出せる。

全ての項の係数を因数分解する必要はなく。
m の各次数の係数の中で、x について最低次
のものだけ因数分解すれば足りる。

補足

詳しい説明ありがとうございます。

回答No.2

info22_

>効率のいい解法は存在しますか？
因数分解の基本に戻ることです。

#1さんも言われているように、因数分解の基本定石の１つに「次数の低い文字について式を整理する」がありますね。つまり、mについて整理せよ。ということですから
整理してみると

f(x)=x^3-(4m+1)x^2+2(m+3)x+2(m-3)
　　=-2m(2x^2-x-1)+(x^3-x^2+6x-6)

そうすると先がみとおせてきます。
mの係数を因数分解して係数間の共通引数がないかを調べます。

f(x)=-2m(x-1)(2x+1)+(x^2+6)(x-1)

この段階で
　f(1)=0
となることが見つけられますね。

--------------------------------------
参考
さらに進めて共通因数(x-1)を括り出すと

f(x)=(x-1){x^2+6-2m(2x+1)}
　=(x-1)(x^2-4mx+6-2m)

これ以上は因数分解できませんので因数分解完了ですね。

お礼

導出も載せてくださりありがとうございます。

回答No.1

alice_44

文字が二個以上の多項式を因数分解するには、
次数の低い文字に注目して整理する。
f(x) は、x について降冪に整理してあるが、
m の一次式として整理すると、m に掛かる係数が
x の二次式になっている。
この係数の値を 0 にする x を求め、
同時に m についての定数項(x の三次式になる)
の値も 0 にしてくれないか確認する。