指定管理者制度は、地方自治法第２４４条の２ 第３項 で規定されています。
平成１５年６月に地方自治法が改正され、そのときから始まりました。
この改正前は、地方公共団体（都道府県・市区町村）が設置する公共施設（いわゆる公立施設）は、地方公共団体が直接管理するか、あるいは、地方公共団体が出資している法人（例えば社会福祉事業団等）や公的な法人（社会福祉法人等）しか、運営にたずさわれませんでした。
しかし、指定管理者制度ができたことによって、民間の事業者（株式会社等も）でも運営にかかわれるようになりました。
生活保護法でいう公立の保護施設や簡易宿泊所の場合も、同様になりました。
このため、生活扶助費等にあたる額（ほんとうはその施設を利用する人ひとりひとりに支払われるべき額）も、運営費（但し、一般に人件費は含まれないとされていて、事業者は自腹で職員を雇います）として事業者が直接受け取れるように変わっています。
同時に、地方公共団体としては、職員を直接雇用しなくともよくなるので、人件費の削減につながります。
しかし、その際に、いわゆるピンハネのような問題が生じやすく、ほんとうの意味での保護にはつながっていないのではないか、という議論があります。
これが、指定管理者制度と生活保護との関係性の１つです。
正直、ご質問の意図が非常に曖昧なため、関係性としては、このほかにもいろいろあるとは思いますが、お答えできることがとても限られてしまうことをご容赦ください。
