次元について

質問

高校の物理の参考書をしていたら、隅のほうにおまけ(？)みたいな感じで次元という項目がありました。
次元について色々と書いてあったのですが、最後の方にその参考書では次元を意識した表記にしていると書いてあり
例としてa=mg/m+Mではなくa=(m/m+M)gと表記するとあったのですが(分かりにくいですが重力加速度を分数の外に出してます)
その後の説明でaとgが同じ次元ということは何となく分かったのですが、m/m+Mは無次元となるというところがよくわかりません
なぜ同じ次元同士の比は無次元なのですか？

出来れば高校生にも理解できる範囲でお願いします。

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

物理的な量を表すのに単位を付けます。単位は、基本的な量の単位をも元に物理法則に従って組み合わされた単位を使います。基本的な量としてたとえば「長さ」、「質量」、「時間」を使います。これを元にほかの量の単位を決めますが、この基本的な量がどのように組み合わされているかを次元といいます。

「面積」は「縦」×「横」で計算されるので次元は、「長さ」×「長さ」=「長さ」^2　(長さの2乗)です。具体的には「長さ」の単位に[m]を使えば「面積」の単位は[m^2]　(平方メートル)になります。

「速度」は「動いた距離」÷「かかった時間」で求められるので、「長さ」/「時間」の次元です。具体的な単位は、「長さ」に[m]、「時間」に[s]　(秒)を使えば[m/s]です。

このように単位は「掛ける」、「割る」などの操作によって組み立てられていて、単位間でも同様な演算ができるのです。

例
時速50キロメートル(50[km/h])で2時間(2h)では何km進むか。
50[km/h]×2[h]=100[km]
この計算では、50×2の数値の計算だけでなく、単位の計算[km/h]×[h]の計算もして単位も含めた正しい答えがでるのです。単位の[/]は分数の横棒[―]と同じで、上の計算では、[h]が約分されているのです。

「なぜ同じ次元同士の比は無次元」になるかは以上の説明でわかると思いますが、物理も含めて科学技術の計算では、数値の計算だけでなく、単位もちゃんと計算します。そうすれば、目的の答えが得られるかどうか、正しい計算式かどうかの判断にもなります。

是非、単位も含めて計算してください。

お礼

なるほど。分数と同じだから約分できるのですね。よくわかりました。
物理では単位が大事なことも分かったので、これからは単位のことも考えて計算していきます。