正直村と嘘つき村

質問

ある島は『正直村』と『嘘つき村』にわかれている。正直村出身者の言うことは常に真であり、嘘つき村の言うことは常に偽である。この島にやってきたある人が、３組の夫婦にどちらの村出身か尋ねたところ、それぞれ夫が次のように答えたという。
それぞれの夫婦の出身を特定できるか理由をつけて答えよ。
ただし、異なる出身者同士が夫婦になることもありうるとし、また夫は妻の出身地を知っているものとする。
(1)『二人とも嘘つき村出身である』
(2)『二人とも同じ村出身である』
(3)『少なくともどちらかは嘘つき村出身である』

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

面倒臭がらず、
- 夫が正直者か嘘つき者か
- 妻が正直者か嘘つき者か
によって生じる 2 * 2 = 4通りの場合についてそれぞれ
成立するか丁寧に議論しましょう。

今「夫が正直者」をP, 「夫が嘘つき」をnP,
「妻が正直者」をQ, 「妻が嘘つき」をnQとします
（nはnotの意味）。

考えれば
(1) PかつQ, nPかつnQの場合は明らかに有り得ず、
またPかつnQの場合も有り得ません。
nPかつQの場合は成立し、この場合のみです。
(2) PかつQの時は成立する。nPかつnQの時は成立しない。
PかつnQの時も成立しないが、良く考えるとnPかつQの
時は成立する。よってこの場合は特定不能。
(3) PかつQの時は不成立、PかつnQの時は成立。
nPの時はいずれも不成立。

であることが分かり、(1)(3)の時特定可能な事が分かります。

別解として、もう少し記号論理的に考えてみましょう。
今、夫が「Rである」と証言した時、考えられ得るのは
(P and R) or (nP and nR)であることに注目しましょう。

(1) ( P and (nP and nQ)) or (nP and not(nP and nQ))
= (( P and nP ) and nQ) or (nP and (P or Q))
= ((nP and P) or (nP and Q))
= nP and Q -> 特定可能

(2) ( P and ((P and Q) or (nP and nQ))) or
(nP and not ((P and Q) or (nP and nQ)))
= ((P and P and Q) or (P and nP and nQ)) or
(nP and (not (P and Q) and not (nP and nQ)))
= (P and Q) or (nP and ((nP or nQ) and (P or Q)))
= (P and Q) or ((nP and (P or Q)) and (nP or nQ))
= (P and Q) or (((nP and P) or (nP and Q)) and (nP or nQ))
= (P and Q) or ((nP and Q) and (nP or nQ))
= (P and Q) or ((nP and Q and nP) or (nP and Q and nQ))
= (P and Q) or (nP and Q) -> 特定不能

(3) (P and (nP or nQ)) or (nP and (not (nP or nQ)))
= ((P and nP) or (P and nQ)) or (nP and (P and Q))
= (P and nQ) or ((nP and P) and Q)
= P and nQ -> 特定可能

お礼

ありがとうございます(^O^)