nCm が偶数
n=2^k(k≧1)とすると、 nCm (1≦m≦n-1)は偶数であることをしるせ。
証明では
(A+B+C+・・・・Y+Z)^2
=A^2+B^2+C^2+・・・Y^2+Z^2+2(AB+AC・・・+AY+AZ・・・+YZ)・・・(1)
を使って
例えばn=4のとき、(a+b)^4=a^4+(係数が偶数の項)+b^4がわかれば、n=8のとき、
(a+b)^8={(a+b)^4}^2={a^4+(偶数係数項の和)+b^4}^2=a^8+(偶数係数項の平方和)+b^8
+2(異なる2項の積全体の和)
=a^8+(係数が偶数の項)+b^8 となるので、n=8でも成り立つことがわかる。
と書いてあります。
(1)を使って具体的に計算したら、
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2を2乗して(a+b)^4を表すと、
a^4+4a^2b^2+b^4+2(2a^3b+a^2b^2+2ab^3)
また上記の結果を2乗して(a+b)^8を表すと、
a^8+16a^4b^4+b^8+4(2a^3b+2ab^3+a^2b^2)^2+2{4a^6b^2+a^4b^4
+a^4*2(2a^3b+2ab^3+a^2b^2)
+4a^2b^6+4a^2b^2*2(2a^3b+2ab^3+a^2b^2)
+b^4*2(2a^3b+2ab^3+a^2b^2)}
どこが、係数が偶数の項、偶数係数項の和、偶数係数項の平方和であるかがわかりません。
次に、a^4・・・を2乗するときに(係数が偶数の項)は(偶数係数項の和)に書かれていて、
どっちが正しいかわかりません。
どなたか2つの質問に説明をください。お願いします。
本では、このあと数学的帰納法を使って、条件が成り立つとき、nCmが偶数であることをしるしています。
お礼
ありがとうございました