代数学1の問題が分からないので教えて下さい(ToT)/~~~

質問

代数学1の問題が分からないので教えて下さい(ToT)/~~~

(問)次のベクトル空間についてそれぞれ基底を求めよ。

v1=(2 7 3 9)
v2=(3 3 5 8)
v3=(1 -4 2 -1)
v4=(1 11 1 2)
とおいたときのV=〈v1,v2,v3,v4〉

v1～4は横に書きましたが実際は縦行列です。

回答No.2

lord2blue

もう昔の記憶で…出来るかなぁと思ってやってみました。

もしその四つのベクトルが一次独立なら基底となっているのでOKです。
でもなってません。
v2＝v1+v3
が容易にわかります。
なのでv2を除いたv1、v3、v4が一次独立となっていれば、この三つのベクトルが基底です。
なっていなければ、また
va＝nvb+mvc(a,b,c∈{1,3,4}、n,m∈スカラー)
みたいな形になるベクトルを見つけて、vaを除くんだけど…

一次独立か調べてみると…

（v1～v4を並べた行列を階段化するとＶの次元が３であることがわかりますので、基底も三つのベクトルで表すことが分かります。）

こんな風に解いていたような…いなかったような…説明下手でごめんなさい。

回答No.1

alice_44

v1～v4 を並べて 4×4 行列にしたものを A と置く。
真面目に A を階段化して、階数を調べれば、dim V = rank A となる。
階段化は、質問者自身の計算練習にしておくとして、
オジサンはズルをして、数式処理ソフトにやらせてみると、
A の特性多項式が dim(xE-A) = x^4 - 9x^3 - 70x^2 +96x らしいから、
rank A = 4 - (固有値 0 の重複度) = 3 で、結局、dim V = 3。