「√3+√5≠√8」を近似値を利用して証明するのは正確か

質問

私が中三の時に、学内の定期テストで次のような問題が出題されました。
「√3+√5＝√8でないことを証明せよ」
この問題の出題意図は「平方根の近似値が分かっているかどうかを確かめる」ことにあったようで、模範解答は
「√3≒1.73,√5≒2.23である.
これらの値を使って√3+√5を計算すると約3.96で,2.82≒√8との差が誤差の範囲よりも大きいため,√3+√5＝√8でない」
といったものでした。
私はそのような証明は正確でないのでは、と思い
「√8＝2√2＝√2+√2である.
√3＞√2,√5＞√2なので,√3+√5＞√2+√2⇔√3+√5＞√8である」
といった証明をし、丸はもらえたのですが、「模範解答」のような近似値による証明は数学的に正確といえるのでしょうか。
回答よろしくお願いします。

回答No.3

funoe · ベストアンサー

「近似値」の意味するところを数学的に明記した回答ならＯＫだと思いますね。

「√2≒1.41,√3≒1.73,√5≒2.23である.」という生活上の知識を元に、
√2<1.42
1.72<√3
2.22<√5
を用いる。（この不等式を「検証なしに正しいもの」として扱う）

このとき
√8=2√2<1.42*2=2.84
√3+√5>1.72+2.22=3.94　より
√8　<　2.84　<　3.94　<　√3+√5
となり、
√8　≠　√3+√5

という回答ならいかが？

とはいえ、
「√3+√5＝√8でないことを証明せよ」という問いへの回答ならば、
明らかに質問者さんの回答の方が「美しい」ですね。
これが、
「√3+√5＝√8でないことを近似値を用いて示せ」くらいの出題なら
教師の模範解答や、上述の回答もありかと。

最後に、
普通の中学生や普通の中学数学教師なら気にしないかもしれないけど、
「√3≒1.73,√5≒2.23　から辺々足して　√3+,√5≒3.96」
　が気持ち悪いと感じるのは「数学的にまっとうな精神」です。
　その精神をいつまでも持ち続けてください。

回答No.7

Ishiwara

あなたの証明は完璧であり、近似値を使った証明は、数学としては邪道です。

回答No.6

tsuyoshi2004

個人的には近似値で証明をするなら、両建てでするのが正しいと思います。

1.73<√3<1.74
2.23<√5<2.24
よって、
1.73+2.23<√3+√5<1.74+2.24
3.96<√3+√5<3.98
一方で、
2.82<√8<2.83
よって、√8<√3+√5
なら、正しいと思います。

少なくとも模範解答で、実際には√8よりも小さい2.82を近似値としているのは非常に不明瞭と思います。

回答No.5

alice_44

模範解答も、間違いとは言いきれません。
しかし、「約」はマズイですね。
近似値の精度を考慮して、
√2 ＜ 1.42
√3 ＞ 1.73
√5 ＞ 2.23
より、
√3 + √5 ＞ 1.73 + 2.23 = 3.96
＞ 2.84 = 2 × 1.42 ＞ 2√2 = √8
なら ok ですが。

√ の近似値は何処から出てきたのか？
という問題も残るし、
貴方の解法のほうが、簡潔で、内容も確かです。

回答No.4

haragyatei

近似値で証明するのはいつでも使えるとは限りません。この例のような場合で中学校では良いと思いますが。むしろあなたの証明のほうがはるかに数学的だと思います。逆の一致することを証明せよだったら近似値によっては証明できません。

回答No.2

4371743

この場合は不正確と言わざるを得ません。
個々の数値が誤差の範囲内でも計算すると大きな差になることはあり得ます。

問題もおかしい。
誤差の許容範囲を指定してないで誤差の範囲より大きいか小さいかなど判定できません。
よって解答不能が私の解答になってしまいます。

回答No.1

neKo_deux

> 「模範解答」のような近似値による証明は数学的に正確といえるのでしょうか。

アリだとは思います。
仮定や前提条件に反する例を挙げて、仮定が異なる事を証明するのは、背理法なんかの場合には一般的です。

この証明方法自体も、しっかり書くと背理法になると思いますし。
「√3+√5＝√8であると仮定する～と矛盾する～よって、√3+√5＝√8でない。」とか。