確率論について

質問

確率論（もしくは統計論）として
２４０分の１の確率のものを、２４０回試行して
２４０回以内にあたる確率は何％くらい
なのでしょうか？
抽選は完全確率として２４０分の１のものは、
２４０回試行して当たらない時も多々あります。
（サイコロを６回ふって６の目の出る確率は
６分の６＝１ですが、現実問題絶対出るわけでは
ないですよね？）

それと、確率が１０分の１のようにかわった場合、
１０分の１のものが１０回以内に当たる確立と、
２４０分の１が２４０回以内に当たる確率は
同じなのでしょうか？

わかるかたがいれば計算式なども教えて
いただければありがたいです。

回答No.2

tancoro · ベストアンサー

上記の質問をさらに発展して考えて見ましょう。
『確率P の試行を n回行った時に　x回成功する確立。』
このような確率を二項確率といい、下記のように求めることができます。
b(x:n,P) = nCx P^x * (1-P)^(n-x) (x=0,1,..,n)
【例】
1/240で完全確率抽選を行なうパチンコ台を100回転させた場合に、大当たりが３回くる確率は？
b(3:100,1/240)
= 100!/(97!3!) * (1/240)^3 * (239/240)^97
= (100*99*98)/(3*2) * (1/240)^3 * (239/240)^97
= 約 0.78％

さらに、このような二項分布は期待値（平均成功回数）が n*P となることがわかっています。（証明は省略します。）つまり、triple-vさんがおっしゃっているのは、全て期待値が１ですよね。
(1/6) * 6 = 1
(1/240) * 240 = 1
(1/10) * 10 = 1
この場合、＃１さんが求めておられましたが、それぞれ確率は微妙に違います。でも、triple-vさんがおっしゃっているように、あるところへの収束が観察されますね。そこで、
『 期待値 nP を固定し、nを極限まで大きくしていってみる。この時、当然Pは小さくなっていきますが・・・・』
このような場合の二項確率は、ポアソン確率といい下記のように求まります。(但し、λ=nP。また、eは自然対数。)
psn(x:λ) = e^(-λ) * λ^x / x! (x=0,1,2,…)
【例】
期待値が1である場合、１回でも当たる確立は？
1 - psn(0:1) = 1 - (1/e) = 約63.2%

この結果からもわかりますが、1/240という確率は、十分に小さい確率なので、ポアソン確率と大差はありません。パチンコ等の確率計算を行なう場合は、期待値から、ポアソン確率を計算しても何ら問題ないことがわかります。また、大当たりの分布の様子もポアソン分布に従っているといえます。（逆に、完全確率の台がポアソン分布に従っていないようなホールは、怪しいともいえますね。

お礼

とても親切に解答してくださって
ありがとうございました。
しかし、私には少し難しいようです・・・。
今もなんとか理解しようとして、何度も
読み返している最中です。
なんとかして理解したいと思っています。

tancoroさんは区間推定なども理解できるのですか？
「確率Ｐのものをｎ回試行したときに、９５％の
確率で起こりうる確率」
たとえば、完全確率でも２４０分の１を
４０００回試行したときに、２００分の１に
なることもあれば、５００分の１になることも
ありますよね？
この計算はどうやればいいのでしょうか？

回答No.1

mousengoke

>２４０分の１の確率のものを、２４０回試行して
>２４０回以内にあたる確率は何％くらい

まず、240分の1の確率のものを240回試行して1回も当たらない確率を求めると
(239/240)^240≒0.367
となるんですね。
これを1から引けばいいんです。
(a^bはaのb乗ということです。)
すると約0.633となり
約63.3％となります。

同じように10分の1のものが10回以内に当たる確率を計算すると
(9/10)^10≒0.349
1-0.349=0.651
なので約65.1％になり違うものとなります。

お礼

なるほど。とてもよくわかりました。
ありがとうございました。
試しに色々な数値で計算してみたところ
だいたい63%～70%くらいになるんですね。
わかりやすい解説とてもありがとうございました。