楕円が円に含まれるとき

質問

x^2+y^2=1 の円の内部に、楕円　x^2/a^2+(y-b)^2/b^2=1 が完全に含まれるとき、aとbの関係を式に表せ。ただし、aとbは正数。

次のように考えましたが、途中で挫折しました。
接する場合を考えました。そのために、第一式を第二式に代入して、xを消去しました。ｙは一つの解だから重解の条件が必要になる。
ここで、この考え方ではうまくいかないことに気づく。２点で交わる場合も、ｙの値は重解になるのか。（ｙの解が１つのみだから。）
ここで挫折。問題を解決するための条件をどうすればよいのか、教えてください。

回答No.1

tksmsysh · ベストアンサー

楕円上の点をパラメータ表示して、その点が常に単位円内にあるためのaとbの関係を求めます。

点P(acosθ,b+bsinθ)とすると、点Pは楕円x^2/a^2+(y-b)^2/b^2=1上の任意の点を表す。ただし、0≦θ≦2πとする。
点Pが円x^2+y^2=1の内部にあるとき、
(acosθ)^2+(b+bsinθ)^2≦1
⇔(a^2){1-(sinθ)^2}+(b+bsinθ)^2≦1
⇔(b^2-a^2)(sinθ)^2+2(b^2)sinθ+a^2+b^2-1≦0…(1)
ここで、t=sinθとおくと、-1≦t≦1である。
(1)⇔(b^2-a^2)t^2+2(b^2)t+a^2+b^2-1≦0…(2)
求める条件は、(2)が-1≦t≦1の範囲で常に成り立つような正数a、bの条件である。

あとは、(2)がtの1次不等式、2次不等式のときについて、吟味すればよいと思います。

お礼

媒介変数表示の解法を同じように考えてみましたが、
場合分けが少し面倒かなと思いました。
ありがとうございました。

回答No.4

midare_oni

円は原点を中心とした半径1の円。
楕円もx軸、y軸に対して対象となるもの。
つまり、x軸、y軸の交点だけを考えればよい。
楕円の交点は(0,±b),(±a,0)なので、a≦1,b≦1が条件となる。
という考え方の方が簡単だと思うのですが。
(こういう問題は、最初に図を書くと簡単な解き方がわかる場合があります)

回答No.3

alice_44

貴方が気にしている問題点は、
２交点の y 座標がたまたま一致することはないのか
…ということでしょうか？

結果的に、そういうことは生じないのですが、
その点は言及しておかなければいけないでしょう。
一般の２曲線では、あり得ることですからね。

とはいえ、y の値をひとつ定めると、
x^2 + y^2 = 1 が与える x の値と
x^2/a^2 + (y-b)^2/b^2 = 1 が与える x の値とは
一致しない　…と、ひと言ことわっておくだけです。
後は、貴方の考え方どおりでしょう。

お礼

貴方が気にしている問題点は、
２交点の y 座標がたまたま一致することはないのか
…ということでしょうか？

1<2b のときは、図から２点で交わるけれど、ｙの値と一つであるから
ｙについての２次方程式は、重解をもつといえるのか。
そうすると、ｙが重解だとしても、接しない場合があるということになり、この方法ではうまくいかないと思ってしまいました。
ありがとうございます。

回答No.2

spring135

＜接する場合を考えました。そのために、第一式を第二式に代入して、xを消去しました。ｙは一つの解だから重解の条件が必要になる。

基本的に正しいと思います。

図を書きながら考えてください。交差するときは異なる２実解を持ち、接するときそれが一つになります。Ｄ≦0よりa≠bのときb^2≦a^2-a^4が出ます。
　もう一つ考えることは解の範囲です。図を書いて考えれば解りますが重解＝a^2b/(a^2-b^2)≦1です。
a=bのときは二つの円が内接、または内包する条件となります。

お礼

もう一つの条件として、重解＝a^2b/(a^2-b^2)≦1　が必要であること。納得しました。
ありがとうございました。