円すい台Cは、上底面の円、下底面の円の直径がそれぞれ4,6であり、その

質問

円すい台Cは、上底面の円、下底面の円の直径がそれぞれ4,6であり、その上底面、下底面、および側面に球Sが接している。このとき、次の各問に答えよ。
(1)球Sの体積を求めよ。

という問題です。
考えてみましたが、断面から考えるとのヒントがありますが、
どう求めればよいかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

真横から見れば、360度どこから見ても円すい台と球は同じように見えますね。
なので、直径に沿って切った断面を考えます。
すると、等脚台形の中に円が接している形が現れるはずです。
図をつけておきます。

いま、わからないのは
（円すい台の高さ）＝（球の直径）＝（球の半径）×２
ということになります。
球の半径を rとでもおいて求めることにしましょう。

添付の図の中に、ヒントをいくつか描いています。
特に角度のところに注目してください。
(1) 角度の関係から、三角形OABがある特別な三角形であることがわかります。
OAの長さやOBの長さは、三平方の定理から求めることができます。
(2) 三角形ABHに注目すると、これまた三平方の定理を使うことができます。

上の(1)と(2)から、辺ABを 2とおりの方法で表すことができます。
そして、両方とも rを含んだ式になります。
これから rを求めることができます。

お礼

三角形OABが直角三角形になることを使う方法、
Aから垂線をおろして三角形ABHを作る方法があるんですね。
きれいな図をつけてくださってわかりやすかったです。
ありがとうございます。

回答No.5

noname#108210

#3さんの図で
AB=2+3=5
BH=3-2=1
AH=2r

これから，三平方の定理から
1^2+(2r)^2=5^2
これを解けばよい。

お礼

BH=3-2=1
がポイントですね。
どうもありがとうございます。

回答No.4

info22

（記号C,Sがすでに使われていますので、切断面の等脚台形の頂点の記号の割振りにCやSが使えませんので、少し不自然な記号の割振りになっています。）

球Sの中心Oを通り垂直な円錐台Cの切断面PQRT(等脚台形)を考える。
このとき、P,Tは上底面の直径(=4)、Q,Rは下底面の直径(=6)となる。
球の中心OからPQ、QR、PTに下ろした垂線の足を順にH,A,Bとし、
内接球の半径をrとするとすると
　PB=BT=2、QA=AR=3
　∠P+∠Q=180°（同位角の関係）
線分POは∠Pを2等分、線分QOは∠Qを2等分するので
　∠OPH+∠OQH=90°
　　∴∠POQ=90°
直角△OBP≡直角△OHP、直角△OAQ≡直角△OHQなので

　PH=PB=2,QH=QA=3

直角△OHP∽直角△BHOなので、相似比が等しい。

　r:2=3:r ∴r^2=6

これから円錐台Cの内接球Sの半径rが求まりますから、
球の体積Vは　V=(4/3)πr^3
から求められますね。

お分かりですか？

お礼

三角形の相似比からrを求める方法もあるんですね。
＞直角△OHP∽直角△BHO
は
＞直角△OHP∽直角△QHO
なんですよね。
どうもありがとうございます。

回答No.2

nag0720

上下の円の中心を通る平面で切ったときの断面を描いて、台形の左上の点から左回りにA,B,C,D、内接円の中心をO、円と辺ABとの接点をEとしたとき、
三角形OABは直角三角形、AE=2、EB=3、であることが分かれば、
(2^2+r^2)+(3^2+r^2)=5^2
から球の半径rが求められます。

お礼

三角形OABが直角三角形になることに気づけばよかったんですね。
そうすれば三平方の定理が使えたんですね。
どうもありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

この円錐台を上下の底面の中心を通る平面で切った台形と、それに内接する円を考えると、
　・台形の高さは円の直径と等しい
　・円の中心から斜辺までの距離は円の半径に等しい
となることが判ります。台形の高さをｈとおくと斜辺の傾きも判るので適当に座標を割り当て（例、下底面の中心を原点、上底面の中心を（０、ｈ）とおくなど）ると解くことができるはずです。

お礼

座標を割り当てるのですか。
時間をみつけて挑戦してみたいと思います。
ありがとうございます。