ベル数の名前の由来

質問

1, 2, 5, 15, 52, 203, 877 ... と続く「ベル数」という数列がありますが，この「ベル」って何ですか？　人の名前でしょうか？　また，ベル数はどんなきっかけで見つかったものなのでしょうか？　ご存じの方，教えてください。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

元々組み合わせ論から出てきたもののようです。siegmund先生の仰るように、n人を幾つかのグループに分ける分け方（人数だけじゃなく、誰がどのグループになるかまで区別する）の場合の数B(n)がベル数ですね。Eric Temple Bell先生(1883-1960)のご研究になる物だそうで。
B(n+1) = Σ(nCk)B(k) (k=0,1,....,n)
と表すことが出来ます。ここに　nCk = n!/(k! (n-k)!) 。
また
e^((e^x)-1) = Σ{(B(n)/n!)x^n} (n=0,1,.....,∞)
という母関数（指数的母関数）を持っています。

お礼

エリック・テンプル・ベルですか。けっこう最近の人なんですね。ご教示どうもありがとうございました。スッキリしました。

回答No.1

siegmund

ベルは Bell ですね．
人名(数学者？)と思いますが，よく知りません．

私になじみがあるのは，単なるベル数よりはベルの多項式です．

ベルの多項式は合成関数
(1)　　F(x) = f(g(x))
の導関数に出てきます．
(2)　　gr = d^r g(x)/dx^r
(3)　　fr = [d^r f(y)/dy^r]_{y=g(x)}
とします．
(3)はｆをｙでｒ階微分してから y=g(x) とおいたもの．
で，直接微分してみればわかるように
(4)　　dF/dx = f1 g1
(5)　　d^2 F/dx^2 = f1 g2 + f2 (g1)^2
(6)　　d^3 F/dx^3 = f1 g3 + f2 (3 g2 g1) + f3 (g1)^3
(7)　　d^4 F/dx^4 = f1 g4 + f2 (4 g3 g1 + 3 (g2)^2)
　　　　　　　　　　+ f3 (6 g2 (g1^2)) + f4 (g1)^4
などとなります(あ～，疲れた)．
右辺で，fr = gr = 1 と置いたものがちょうどベル数になっています．
１，２，５，１５，．．．，となっていますね．

一般形は
(8)　　Bn = Σ {n!/(s1! s2! ・・・ sn!)} (g1/1!)^(s1) (g2/2!)^(s2) ・・・ (gn/n!)^(sn)
で，和は
(9)　　Σ_{k=1}^n k sk = n
となるような０または正整数の (s1,s2,・・・,sn) のすべての組にわたってとります．

Bn はｎ個の異なったものをグループに分けるときの分け方の数になっています．
分け方はいくつに分けてもよろしい．
(7)との対応で言えば，４つのものをグループ分けする．

(A) １つのグループに分ける --- １通り(f1 g4 に対応)

(B) ２つのグループに分ける
(b1) １つと３つのグループ --- ４通り(4g3 g1 に対応)
(b2) ２つのグループが２つ --- ３通り((g2)^2 に対応)

(C) ３つのグループに分ける(1,1,2 と分ける) --- ６通り(6 g2 (g1)^2 に対応)

(D) ４つのグループに分ける --- １通り(f4 (g1)^4 に対応)

と言った具合です．

よく知られているのは上の分け方との関連ですが，
もともとのベル数発見のきっかけが上のようなものかどうかは，知りません．

あんまり回答になっていないかな？

お礼

> あんまり回答になっていないかな？

いえいえ，詳しく教えてくださってありがとうございました。