πの計算

質問

sin　cosを使う高校程度の数学の知識で、いろいろπの計算式を考えていたのですが、ふと意外な現象を発見しました。
それは、3^3/2^3、4^4/3^4と計算していくと、3.75、3.1604…とだんだんπに近づいていきます。ｙ＝((x+1)^(x+1))/(x^(x+1))を計算するわけです。それなら、ｘ＝πのときはどうなるか？計算できる限りすると、なんと、πに限りなく近くなるのです！
π＝（(π＋１)＾(π＋１））／（π＾（π＋１））というわけです。
これを簡単にすると、π＾（π＋２）＝（π＋１）＾（π＋１）。
これは単なる偶然でしょうか？πに近い数が出るけど、累乗数は、１千桁計算できるソフトでも、小数点以下10桁程しか取れないし。
もし、これが正しいとすれば、証明法を知っている人はいませんでしょうか（多分、紹介されても数学ド素人にはちんぷんかんぷんでしょうが）。それから、この式（方程式？）を使って、πの計算ってできないものでしょうかね。

回答No.6

R_Earl · ベストアンサー

> しかし、累乗を計算するとき、右肩の数が小数なら、近似値までしか出せないのだから、
> x＝3.14のとき、ｙ＜πといえるのでしょうか。

> まさにそのとおりです。x＝3.14とすればy＝3.1411…。
> 充分近い値をとるのだから、正確に計算すれば（というより理論的には）、
> πの値より大きくなるのではないでしょうか。

私は一般の累乗計算のアルゴリズムがどうなっているか知らないので、
どれだけの桁数が信頼できるかを明示することはできません。

なので別のアプローチを示します。
色々考えた結果、この「分数の小数乗の問題」を
「整数の整数乗の問題」に変換してみることを考えてみました。

x = 3.14の時のyの値は、正確には

y
= {1 + (1/3.14)}^(3.14 + 1)
= (207/157)^(207/50)

となります。

もしx = 3.14の時のyの値がy ≦ 3.1415を満たすなら
(つまりyがπ = 3.1415…に満たないなら)

(207/157)^(207/50) ≦ 3.1415

が成り立ちます。
この不等式の両辺を50乗すれば、

(207/157)^207 ≦ 3.1415^50

と変形でき、さらに両辺に157^207をかければ

207^207 ≦ (3.1415^50)・(157^207)

という形に変形できます。
これで無限桁の演算はせずに済み、有限桁の整数演算で検証ができます。
不等式の左辺が3桁の207乗なので計算結果は多くても621桁、
右辺は5桁の50乗×3桁の207乗なので演算結果は多くても871桁です。
よって871桁正確に計算できれば、正確な検証が可能ということになります。

3000桁まで計算できるフリーの電卓ソフトで検証しましたが、
207^207の先頭3桁は254、
(3.1411^50)・(157^207)の先頭3桁は255となりました。
(ちなみに両者の数の桁数は同じです)。
つまり不等式(207/157)^(207/50) ≦ 3.1415は正しいということになります。
よってx = 3.14の時のyの値はπに満たないということになります。

有限桁の整数演算なら、自分でプログラムを作って
検証することも可能だと思います。

参考URL：

http://www6.ocn.ne.jp/~port/BigCalculator.html

お礼

有限桁の整数演算による検証ですか。自分も、やってみます。
どうしても、限りなく近い値が出たのが偶然だったとは思えませんので。

回答No.5

R_Earl

> 3^3/2^3、4^4/3^4と計算していくと、3.75、3.1604…とだんだんπに近づいていきます。
> ｙ＝((x+1)^(x+1))/(x^(x+1))を計算するわけです。
> それなら、ｘ＝πのときはどうなるか？
> 計算できる限りすると、なんと、πに限りなく近くなるのです！

「y = ((x+1)^(x+1))/(x^(x+1))において、x → πとすると、y → πになる」
ということを言いたいのでしょうか？
多分ですが、その仮定は誤りだと思います。
実際にy = ((x+1)^(x+1))/(x^(x+1))を微分して、その増減を考えてみました。

まずy = ((x+1)^(x+1))/(x^(x+1))を変形して
y = (1 + 1/x)^(x + 1)
とします。
対数微分法を使うと
y' = { (1 + 1/x)^(x + 1) }[ log{1 + (1/x)} - (1/x) ]
となります。

x = 3.14の時、y = 3.1411… < πとなります。 … (＊)
もしx = 3.14からx = 3.15までにかけて「y'の値が負」であり続けるなら、
y = ((x+1)^(x+1))/(x^(x+1))は「3.14 ≦ x ≦ 3.15において単調減少の関数」となります。
つまりx → πとしても、yはπに近づかないということになります。

y'の正負について考えます。
y'の{ (1 + 1/x)^(x + 1) }という因数は3.14 ≦ x ≦ 3.15にかけてプラスです。
よって「3.14 ≦ x ≦ 3.15において、y'の値が負」であることを示すには、

y'の因数[ log{1 + (1/x)} - (1/x) ]が
3.14 ≦ x ≦ 3.15の範囲内で負であることを示せば良い

ということになります。

y'の因数[ log{1 + (1/x)} - (1/x) ]の正負を考えます。
g(x) = log{1 + (1/x)} - (1/x)とおいてg'(x)を考えると
g'(x) = 1/{(x^2)(x + 1)}となります。
よってg'(x)は-1 < xにおいて正です。
g(3.15) = -0.041…
となるので、
g(x) = log{1 + (1/x)} - (1/x)は
1 ≦ x ≦ 3.15において負の値をとることになります。

以上より関数y = ((x+1)^(x+1))/(x^(x+1))に対し、
[1] x = 3.14の時、yの値はπより小さい
[2] 3.14 ≦ x ≦ 3.15においてyは単調減少
ということが言えるので、質問者さんの仮定は誤りとなります。

(＊)の部分の値はExcelで計算しましたが、
これがどれだけ信頼できる値なのかが微妙なところです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
Excelで計算したところ、x＝3.14とすれば、y＝3.1411…となるのですね？そこから、yは単調減少するのだから、πには近づかないと。しかし、累乗を計算するとき、右肩の数が小数なら、近似値までしか出せないのだから、x＝3.14のとき、ｙ＜πといえるのでしょうか。
＞＞（＊)の部分の値はExcelで計算しましたが、これがどれだけ信頼できる値なのかが微妙なところです。
まさにそのとおりです。x＝3.14とすればy＝3.1411…。充分近い値をとるのだから、正確に計算すれば（というより理論的には）、πの値より大きくなるのではないでしょうか。
やはり偶然なのでしょうか？ここまで近い値が出るからには、何かあるように思えてならないのですが。

回答No.4

kabaokaba

((x+1)^(x+1))/(x^(x+1))
=((x+1)/x)^(x+1)
=(1+(1/x))^x (1+(1/x))
なんだから，x->∞のときには
e に収束するのであって
πには収束しない．

かりに「π」に収束するものだとしても
「収束値」と「x=πのときの値」とはまったく関係がない．

お礼

ご回答ありがとうございます
質問者の私は、収束値とは一言も言っていませんが？

回答No.3

proto

Google電卓でどうぞ。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&source=hp&q=%28pi%5E%28pi%2B2%29%29-%28pi%2B1%29%5E%28pi%2B1%29&lr=&rlz=1R2SNYA_jaJP330&aq=f&oq=

(π^(π + 2)) - ((π + 1)^(π + 1)) = 0.0714530231
別にそこまで近い値でもないような。

お礼

ご回答ありがとうございます。
この式は、０にならなければいけないものですね？でも、（π＋１）＾（π＋１）／（π＾（π＋１））をGeogle電卓で計算してみると、3.14096888という結果が出ます。
πの値なんて正確にははいっていないでしょうし、累乗も小数点以下十数桁までしか取れないので、それほど正確な値は出ないだろうとは思いますが。

回答No.2

m0r1_2006

e になら収束するけど

お礼

ご回答ありがとうございます。
収束とは、ｘが限りなく大きくなったときのことですね？ｘがπに近くなったときのことです。

回答No.1

nag0720

5^5/4^5=3.0517
6^6/5^6=2.9859
7^7/6^7=2.9418
8^8/7^8=2.9102

πからは遠ざかっていますが・・・

お礼

ご回答ありがとうございます。
ｘ＝２，３としてきたら、近づいてきたので、ｘ＝3.14159265としてみたら、ｙもπに極めて近い数となったのです。