運動量の保存

質問

以下に与えられる力F(t)で、ある時間t∈[ti、tf](tiは力が作用し始める時刻、
tfは力が作用し終わる時刻)だけ物体に力が作用したとすると、その物体の
運動量は保存するか、しないか。計算によって確かめよ。
という問題ですが、
P(t)-P(t0)=∫[t0→t]F(t)dtより
(1)F(t)=mg、t∈[0、T]
解
I=∫[0→T]mgdt=mgT
よって保存しない。
(2)F(t)=F0sin{(t/4)+θ0}、t∈[0,4π]
解
I=∫[0→4π]F0sin{(t/4)+θ0}dt=8F0cosθ0
よって保存しない。
(3)F(t)texp[-αt^2]、t∈[-∞、∞]

(1)(2)はそれぞれ、あってますか？
(3)は積分の方法が分かりません。お願いします。

回答No.3

rabbit_cat

(3)
＞=(-1/2α){exp[-α∞]-exp[-α∞]}
＞=0ですか？場合わけが分かりません。

α＞０なら０ですね。
で、α≦０の場合は、問題に何か条件がついていない限りは、
不定形ですから、０ではありません。

広義積分
∫_[-∞→∞] f(x) dx
は、つまり、
lim_[a→∞] lim_[b→∞] ∫_[-a,b] f(x) dx
と定義されています。
もしa=bを保ったまま極限をとれば、奇関数の性質より０ですが、
問題でそう指定されていない限りは、a≠bです。

お礼

なるほど、わかりました。
ありがとうございます。

回答No.2

de_Raemon

(1)はOKだと思います。

(2)はcosθ0=0のとき、つまりθ0=π/2±nπ (n=0,1,2,…)
のときにはI=0となるので保存しますね。

(3)ですがF(t)=texp[-αt^2]は奇関数で、積分区間が原点に関して
対称なので、I=0となって保存します。

回答No.1

rabbit_cat

(1)(2)はいいと思います。
あえて言うなら(2)は、「cosθ0=π/2+2nπ 時には保存する」、それ以外は保存しないと場合わけするべきでは。

(3)は
F(t) = t*exp[-αt^2]
ですか。
とりあえず、s=t^2 とおいて置換積分すれば、積分はできますね。
αの値によって場合わけがいるでしょう。
広義積分の定義はいいですかね。

お礼

(2)なるほど、その通りですね。
(3)s=t^2
ds/dt=2tよりdt=ds/2t
t:-∞→∞
s:∞→∞
I=∫[∞→∞](1/2)exp[-αs]ds
=(1/2)(1/-α)exp[-αs][∞→∞]
=(-1/2α){exp[-α∞]-exp[-α∞]}
=0ですか？場合わけが分かりません。
sの範囲∞→∞であってますか？