数式の解法

質問

以下の数式をAについて(A = の形に)、解いて下さい。
t = {1/(2*π*ｆ)}*{arcsin(θ2/A) - arcsin(θ1/A)}
補足として、
t：時間
π：円周率
f：周波数
θ1、θ2：角度(0 < lθ1l < A, 0 < lθ2l < A)

何かヒントだけでもかまいませんので、宜しくお願いします。

回答No.3

noname#101087

>t = {1/(2*π*ｆ)}*{arcsin(θ2/A) - arcsin(θ1/A)} .......

"arcsin" を多価関数とすると面倒。
…なので、主値(？)のみを考えてみます。
　　↓
　d = c - b = arcsin(kB) - arcsin(B)　　　　(1) k がご質問の θ2/θ1 に対応。B = θ1/A に相当。
　　　0 < d < π/2
　i.e.　max_b = π/2 - d
　　　　max_B = sin(π/2 - d)
　　　　min_k = 1/max_B

式 (1) と制約のもとに d, k を与えて、B = sin(b) を求める式。
　B^2 = X として、下記二次方程式から得られる。
(導出は前稿同様に加法公式から)
　{(k^2 - 1)^2 + (2*k*D)^2}*X^2 - {2*(1+k^2)*D^2}*X + D^4 = 0

お礼

たびたび、回答を頂きありがとうございます。
確かめ算の結果、OKでした。
本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#101087

補足だけ。
--------------

　D = sin(dφ)

>勘定のしっぱなしで未吟味ゆえ、乞検討。

「無縁根」に要注意。場合分けが要りそう。

回答No.1

noname#101087

>t = {1/(2*π*ｆ)}*{arcsin(θ2/A) - arcsin(θ1/A)} ......

　t = {1/(2πｆ)}*dφ
として、
　dφ = 2πｆt
の数値を求めておく。

　dφ = φ2 - φ1 = arcsin(θ2/A) - arcsin(θ1/A)
を A について解く。
　sin(φ2) = sin(φ1 + dφ)
　 = sin(φ1)*cos(dφ) + cos(φ1)*sin(dφ)
　 = (θ1/A)*sqrt(1-D^2) + sqrt{1-(θ1/A)^2}*D = θ2/A
これを A について解く。
　A^2 = {θ1^2 + θ2^2 -2*θ1*θ2*sqrt(1-D^2)}/D^2

勘定のしっぱなしで未吟味ゆえ、乞検討。

お礼

回答ありがとうございました。
早速、確かめ算を行ってみます。