修正版クランクシャフトにかかる回転力

質問

お世話になります。
以前の質問に問題を感じました
ので、修正更新します。

安心してください、ちゃんと消しています。

添付図左のように、
シリンダーに　やや傾き(θ３)が ある
レシプロエンジンに　おける、
クランクシャフトにかかる 回転力(ｆ3)　理論最高値を
数式で 表したく思います。

ので、あっているか
確認と間違いの指摘を、お願いします。

なお、
最小燃焼室容積 : 最大燃焼室容積 = 1 : 1 + Ｌ１ × 2 = 1 : 1 + 6
着火ラグはない
最小燃焼室容積に達した時に着火し、最大応力fを 得る
温度関連は無視する
と、します。

また、
以前の質問：幾何？　角度について
http://okwave.jp/qa/q9051078.html
より、
θ2 = arcsin(sinθ1 / (L2 / L1))
θ4 = arccos(sinθ1 / (L2 / L1))
と、思われます。

此の時、
まず、ピストンに加わる応力f1とfの関係を
クランクシャフト回転角θ1で表す

最小燃焼室容積 : 最大燃焼室容積 = 1 : 1 + L1 × 2 = 1 :1 + 6
コサインの値域を　-1 ⇔ 1　から　０ ⇔ 1 　へ　変換　→　(cosθ1 + 1) / 2
燃焼室容積変動は　最小燃焼室容積を　１とした時
= 1 / (1 + 6 × (cosθ1 + 1) / 2)

此より、
f1 = 1 / (1 + 6 × (cosθ1 + 1) / 2) × f
（※注：減圧により温度の低下が起こり、実際はf1は更に下がる　かも知れないが、良とする）

次に、ピストンアームにかかる力f2と　f1の関係を
θ1とθ2、及びシリンダー傾き角のθ3、Ｌ１とＬ２の長さ比、
にて、表す

θ2 = arcsin(sinθ1 / (L2 / L1))

F2における
θ2と　θ3の角度の関係
f2 = COS(θ2 - θ3) × f1
此より
f2 = COS(arcsin(sinθ1 / (L2 / L1)) - θ3) × f1

最後に、クランクシャフトにかかる回転力f3と、f2の関係を
θ1とθ3、及びＬ１とＬ２の長さ比、
にて、表す

此の時、回転力は
回転面の正接方向に働き、其の角度は
∠PTO - π / 2　で、ある

更に∠PTOは、△PTOを
点Tから仮想の線分POへ向けて降ろした垂線で分断し
（交点を仮にAとする）
△PTA 、△OTA、に分断した時の
∠PTAと、∠OTAの、和であり

∠PTAは、θ4で　= arccos(sinθ1 / (L2 / L1))
∠OTAは、π / 2 - θ1
正接した２直線の成す角は、π / 2
回転力を考える場合の
f2が回転面に力を及ぼす角は
　∠PTA + ∠OTA - π / 2
= arccos(sinθ1 / (L2 / L1)) + π / 2 - θ1 - π / 2
= arccos(sinθ1 / (L2 / L1)) - θ1

故に、f3と、f2の関係は
f3 = cos(arccos(sinθ1 / (L2 / L1)) - θ1) × f2
で。ある。

以上を総括して
f3を、fと、θ1、θ3と、L1,L2で　表すと
f3 = f / (1 + 6 × (cosθ1 + 1) / 2) × COS(arcsin(sinθ1 / (L2 / L1)) - θ3) × cos(arccos(sinθ1 / (L2 / L1)) - θ1)

仮にfを1とし、変換率を見る
と、すると
f3 = 1 / (1 + 6 × (cosθ1 + 1) / 2) × COS(arcsin(sinθ1 / (L2 / L1)) - θ3) × cos(arccos(sinθ1 / (L2 / L1)) - θ1)
と、なる

以上、自信ない
（エクセルに入れると、マイナス値が出るかも…　）
ので、
ご指摘を、お願い致します。

回答No.2

teppou

teppou です。お礼コメントに回答します。
　＞此、求めたい角の余角…

で、f2cos(π/2-(θ1+θ2))
= f2sin(θ1+θ2)
と、いう事ですか？
　計算はあっていますが、(π/2-(θ1+θ2)) がどこから出てきたのか分かりません。
　私が考えたのは、
　前の回答の R を使って
　∠RTO = π - ∠PTO
　∠PTO = π - (θ1 + θ2)
　∠RTO = θ1 + θ2
　f2 の L1 に垂直の成分は、f2 × sin(∠RTO) ですので、
　f3 = f2sin(θ1 + θ2)
　と言うことです。
　次の質問については、私の書き方が悪かったようですが、
　右の図では正しいのですが、
　P 点が θ3 の線に沿って移動すると、線分 OP と二点鎖線はずれてきます。
　そうすると θ3 は、クランク回転角ではなくなると思います。
　あるいは、二点鎖線と L2 のなす角を θ2 とするなら、L2 の長さが変化することになりませんか。

お礼

有り難うございます。

まず、
デグリーで言うところの９０°は
ラディアンでは
πではなく、π/２
ですよ
360°が2πｒ(※r=1とする、仮にね)
なので、1/4の90°
は、π/2ｒです。(※r=1とする、仮にね　で、×rは×1になるので省略)

次に、
話しがややこしくなっているので
新たに図を用意しました
http://1drv.ms/1Poo4If

図の書き込みが多く見難い
かも、知れません
が、ご容赦ください。

さて、
図中において
点T,点parallel,
を、通る線は
線分POと平行です

また、
Rに加え、raを描き加えてみました
線分Traは線分TOと鉛直です。

前置きは此所まで
f3を求めるため、必要な角は
本図では　∠RTraの、反対の角です
此は
π/2における∠RTOの余角と同値です
また、
∠RTO自身は
∠OTparallel(=θ1)と∠OPT(=θ2)の和
此と、等しくなります。

求めたい角が、此の余角
なので
=π/2-(θ1+θ2)
と、なる
と、思います。

＞P 点が θ3 の線に沿って移動すると、線分 OP と二点鎖線はず…
＞二点鎖線と L2 のなす角を θ2 とするなら、L2 の長さが…
変化途上の一瞬です。
点P以外は、全て移動します。

補足

ちょっと訂正
ご指摘通り
f2×sin(θ1+θ2)
には、θ3が含まれていません

ので、実際には
変形が必要でしょう

回答No.1

teppou

図の赤の文字がよく読めないことと、書き方が自己流で、理系人には読みにくいです。
　回答をまとめきれておりませんが、気付いたことを。
　＞燃焼室容積変動は　最小燃焼室容積を　１とした時
　= 1 / (1 + 6 × (cosθ1 + 1) / 2)
　この部分は、cosθ1 の変化だけを用いていますが、
　(L1 + L2) - (L1cosθ1 + L2cosθ2)　のような式にしなければ、きちんと表せないと思います。
　ただ、この式は θ3 を考えに入れていません。この式でも誤差はあまり大きくないとは思いますが。
　＞F2における
　θ2と　θ3の角度の関係
　f2 = COS(θ2 - θ3) × f1
　この部分は、間違っていると思います。
　f2 は、f1 とシリンダー壁からの垂直抗力のベクトル和になりますので、
　f2 = f1 / (cos(θ2 - θ3))　になります。
　f2 は f1 より大きくなります。
　f3 についてですが。
　回転力と書いていますが、T 点で L1 に垂直に加わる力を求めたいのだと思います。
　その力が f3 と読めますので、f3 とします。
　L2 の線を T 方向に少し延長して、先端を R とします。
　∠RTQ は θ1 + θ2 となりますので、
　f3 = f2sin(θ1 + θ2) でよいのだと思います。
　ただ、この式も θ3 を考えに入れてありません。
　＞θ2 = arcsin(sinθ1 / (L2 / L1))
　の式は、P 点が θ3 の線に沿って移動するのであれば、正しくありません。
　誤差は大したことはないとは思いますが。

　ここまでいろいろ書きましたが、エンジンなどのピストンとクランクの仕組みを、スライダ-クランク機構と言います。
　ピストン-クランク機構と言うこともありますが。
　御質問のシリンダーの中心線とクランク軸がずれている機構は、「スライダ-クランク機構　オフセット」で検索するとヒットします。
　いくつか URL を貼っておきます。
　http://www.geocities.jp/bequemereise/piston-crank0.html
　http://picksclicks.cocolog-nifty.com/blog/2013/10/post-3ee4.html
　http://www.sky-engin.jp/MBDynTutorial/chap20/chap20.html
　お役にたてば幸いです。

お礼

>∠RTO は θ1 + θ2 となりますので、
>f3 = f2sin(θ1 + θ2) でよい
>のだと思います。
此、求めたい角の余角…

で、f2cos(π/2-(θ1+θ2))
= f2sin(θ1+θ2)
と、いう事ですか？

>＞θ2 = arcsin(sinθ1 / (L2 / L1))
>の式は、P 点が θ3 の線に沿って
>移動する
ですね、すると思います。

>のであれば、正しくありません。
何故ですか？

⊿PTAに、おいて
線分PTを、斜辺
線分TAを、垂直方向の線分
と、する時
∠APT=θ2を、求めたい場合
arcsin(線分TA/線分PT)
=arcsin(L1*sin(θ1)/L2)
=arcsin(sin(θ1)/(L2/L1))
とは、ならないですか？

解説願えませんか？

補足

有り難うございます。
燃焼室容積変動について
確かに其のようになる
と、思います。

しかし
f2、f3、については
如何なものでしょうか
再考を願います

後、オフセット以外の
効率化施策には
どの様な事が過去
試されたでしょうか？