この数列の一般項を教えてほしいです。

質問

2 , -4 , 16 , -96 , 768
この数列の一般項を教えてください(nを用いて)

僕の友達がとっても困ってて・・・助けてもらえませんか？

回答No.1

proto · ベストアンサー

この数列は
　　a[n+1]=-2n*a[n]
を満たすようですね。
両辺をn!で割ると
　　a[n+1]/(n!) = -2*(a[n]/((n-1)!))
いまb[n]=a[n]/((n-1)!)と置くと、
　　b[n+1] = -2b[n]
b[n]は初項b[1]=a[1]=2、公比-2の等比数列。
一般項は
　　b[n] = -(-2)^n
よって
　　a[n] = b[n]*((n-1)!) = -((-2)^n)*((n-1)!)
となります。

お礼

詳しく回答していただきありがとうございます！

回答No.4

stomachman

ひょっとすると
xy' = (1 - x/2)y
というような問題でしょうか。いや、そのご友人の微分方程式ですが。もしもそうなら、
(1/y)dy = (1/x - 1/2)dx
と変数分離して簡単に解けます。

　ところで、ヤボなこと言いますが、ANo.5は「ラグランジュ補間」と呼ばれるもので、5点(n,a[n])=(1,2), (2,-4), (3,16), (4, -96), (5, 768)を通る4次式です。5項だけ例示された数列の一般項を尋ねられても答は決まりませんで、こんなのでもアリになってしまう。
　ANo.5は、だから（宿題丸投げと疑われないためだけじゃなくて、）問題を解決するためには、きちんと質問の背景を説明する必要があるんだよ、というメッセージなのでしょう。

回答No.3

arrysthmia

その数列の一般項は、

2(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)
-4(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)/(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)
+15(n-1)(n-2)(n-4)(n-5)/(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)
-96(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)/(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)
+768(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)

じゃないかな？
ウソだと思ったら、代入して確認を。

お礼

回答ありがとうがざいます！

回答No.2

info22

>この数列の一般項を教えてください
一般項は
a[n]=(-1)^(n-1)*(n-1)!*2^n