平行平板極板間に働く力を求めたのですが

質問

面積Sで極板間隔がx、誘電率はεでたあっている電荷はQと一定です。
極板間隔は変化します。
このとき、静電容量CはC＝εS/xとできるから
極板にたまるエネルギーUは
U＝Q^2/2C＝Q^2x/2εS
となるから、かかるちからFは
F＝dU/dx(ｘで編微分)＝Q^2/2εS
なので極板間にかかる力はQ^2/2εSでいいのでしょうか？

これだと、極板間隔を広げてもかかる力は変わらないってことになってしまいますよね？
直観的におかしいと思うので質問しました。
どこがおかしいのか教えてください！

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

Ｑはｘに反比例します。
比例定数をｑと置いて、
Ｑ　＝　ｑ／ｘ
と表せます。

Ｕ　＝　Ｑ^2・ｘ／（２εＳ）
　＝　（ｑ／ｘ）^2・ｘ／（２εＳ）
　＝　ｑ^2／（２εＳｘ）
　＝　ｑ^2／（２εＳ）・ｘ^(-1)

Ｆ　＝　∂Ｕ／∂ｘ　＝　ｑ^2／（２εＳ）・∂ｘ^(-1)／∂ｘ
　＝　ｑ^2／（２εＳ）・（－ｘ^(-2)）
　＝　－ｑ^2／（２εＳｘ^2）

ここで符号がマイナスになったのは、離れる方向と引力が働く方向とが逆向きであるからです。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

なるほど！ちょっかんと違っていたのはそこでした。
Qを一定とされている状況が普通ではないのですね。
なにもせず、極板間隔を離していくだけならQは弱くなっていくってことですね。
Qは一定とされていれば、常に同じ力が働くということですね。

回答No.5

ryn

No.2 です．

> 理想を想定して近似式を使っている時点で直観と違うのは当然ということですね。
そうですね．
例えば 1[cm] 四方の極板を考えた時に，
これらを 1[μm] の距離に置けば
よく知られている平行板コンデンサーの式が成り立ちますが，
1[km] の距離に置くと点電荷の式を使ったほうが妥当なことが分かると思います．

質問者さんが直観的におかしいと感じた理由は，
公式の適用範囲を超えて極板間隔を広げることをイメージしていたか，
一定の電圧に保ってＱが減っていくことをイメージしていたか，
だと思いますが，通常極板間引力を求める問題では
たまっている電荷Ｑは一定です．
（そうでなければ U＝Q^2/2C の式も使えない）

回答No.4

foobar

（極板間が均一な平等電界として扱える範囲なら）
極板に何も繋がっていなければ、極板を離しても、電荷は保存するので、ご質問にあるように力は変化しません。（そのとき、極板間の電圧を見ると、離すにつれて、電圧が上昇していきます。）

もし、極板間に一定電圧の電源をつないでいると、極板の電荷は距離に反比例して減ってゆきます。（このイメージがあると、最初の条件での解に違和感が出るかと思います。）

回答No.3

sanori

再びお邪魔します。

点電荷同士ではなく平行平板同士に働く力なのに、分母に距離の２乗があるのは、なんか変な感じがします。
間違っているような気がしますので、とりあえず前回回答は無視してください。

回答No.2

ryn

> 静電容量CはC＝εS/xとできるから
このようにできるのは極板が無限に広がっているときです．
面積が有限のときは端のほうの電場が歪んでいるので，

歪みが無視できるぐらい極板間隔が小さい時だけ
　F＝dU/dx(ｘで編微分)＝Q^2/2εS
が使えます．

お礼

ご指摘ありがとうございます。

理想を想定して近似式を使っている時点で直観と違うのは当然ということですね。