中学校3年ですが高等学校レベルの数学用語につき3点お尋ねします。

質問

中学校3年ですが高等学校レベルの数学用語につき3点お尋ねします。

簡単に分かりやすく教えていただけますとありがたいです。

・ベクトルとスカラーの違い
・導関数
・微分と積分の違い

回答No.4

seahorse57 · ベストアンサー

直感的な説明をします。

中学で「関数」というものを習ったはずです。
中学で習う関数は確か一次関数と二次関数だけだったと思いますが、
高校以降ではもっと複雑な形の関数を扱います。
たとえば
y=x^3+3x^2-10x+3
のような三次関数などです。
そのようなグラフはグラフにすると曲線になっていて、
そのままの式の形では良く分かりません。
そういった、よく分からない関数について調べる方法の一つが微分です。
具体的にはどんな曲線でも、ある一点について拡大すると直線に近づくことを利用します。
つまり、関数を無限に細かい部分に分割して、それぞれが直線であると考えて、それぞれの部分の傾きが計算できる仕組みが微分なわけです。

逆に積分は無限に細かいものを足し合わせる演算です。

お礼

成程、つまり複雑な関数を求めるのが微分で, 積分はその関数を成り立たせる公式を求めるのですね！

それにしても複雑な曲線の関数があるんですね--.

回答No.5

kooc

長くなりそうですが・・・
ベクトルとスカラーの違いというのは、

ベクトル＝どの方向でどれだけ進むのか　座標でいえば、原点からどの方向に、どれだけ離れているのか。
スカラー＝方向に関係なく、どれだけ進んでいるか　座標でいえば、原点からどれだけ離れているか（絶対値）

導関数＝関数には「傾き」というものがあります。ですが、曲がりくねった関数の「傾き」を求めるとき、その関数にある点ａの「傾き」が(点ａの)導関数です。

微分＝微分の概念は、関数の変化率を求めることにあります。例えば、速度の変化を求める（微分する）と、速度がどのように変化しているか、というグラフ、即ち加速度のグラフができます。

積分＝積分とは、あるものを細かく分け、それを足していくことです。
関数の点Ａから点Ｂまでの面積を求めるとき、「面積」を「線」までに細かくして、関数の変化にそって足していくということ。

ちなみに　積分＝微分される前　です。それは、「面積」を微分＝「線」
とすれば、「面積」＝「線」の微分される前(積分)　でしょ？
ちょっと分かりにくかったかな？　（-。-；）ふう

お礼

少し分かった気がします。
後は授業で。

回答No.3

Lokapala

＃１です。

＞関数の傾きという意味がちょっと分からないんですが, それが導関数なのでしょうか？

直線の式y=ax+bにおいて、aを傾きと呼ぶことを習いましたよね。まさにそのことです。1次関数において、傾きによって、その直線の角度が決まります。傾きが大きいと、ｘが変化したときにｙが大きく変化し、逆に傾きが小さいとｘが変化したときにｙはあまり変化しません。

中学で習うかどうか覚えませんが、変化率というものがあります。ある関数y=f(x)のグラフ上にあるx=a,x=bの２つの点の間における変化率は、
｛f(b)-f(a)｝/(b-a)
とされています。１次関数において、b,aにどんな値を入れてもこれは常に傾きと一致します。

さて、関数y=f(x)の導関数を一般的にy=f'(x)と表わすのですが、f'(a)というのは、x=aに極めて近い範囲における変化率を表します。そしてこれを傾きと呼んでいます。先ほどの回答では、微分はもとの関数の傾きを求めると書きましたが、あまり適格ではありませんでした。申し訳ないです。正確には、ある点において関数を微分することは、その点における関数の傾きを求めることで、関数を微分して出てきた導関数のグラフは、もとの関数の傾きの変化の仕方を表わす。です。

ちなみにですが、下に凸である２次関数のグラフは、ｘが大きくなると傾きが大きくなりますよね。つまり、導関数は、右上がりのグラフになります。そしてこれは、１次関数になります。

お礼

有難うございます。ただちょっと分からなかったです。

文系終身のホテルマンの兄に見せたところ, 「これは少なくとも理系の方の回答だな」と言われました。

”さて、関数y=f(x)の導関数を一般的にy=f'(x)と表わすのですが、f'(a)というのは、x=aに極めて近い範囲における変化率を表します。そしてこれを傾きと呼んでいます。先ほどの回答では、微分はもとの関数の傾きを求めると書きましたが、あまり適格ではありませんでした。申し訳ないです。正確には、ある点において関数を微分することは、その点における関数の傾きを求めることで、関数を微分して出てきた導関数のグラフは、もとの関数の傾きの変化の仕方を表わす。です。”

兄は「上記の部分がちょっと分からない。」といっていました。

回答No.2

pascal3141

中３ですので、そこまでで学習した内容で説明します。
・ベクトルとスカラーの違い
ベクトルは、中１・３で習う「力」の→の様な物で、方向・大きさがある物です。
スカラーは、大きさのみを持つものです。
（例）速度：どの方向にどの大きさかを表します（ベクトル）
　　　速さ：大きさしかありません。km/時（スカラー）
・導関数
中３で習う「２次関数」の、x＝a～x＝bまでの変化の割合の考え方で説明します。変化の割合のbをaに限りなく近づけた時（これがx＝aでの微分係数といいますが）その、x＝aでの２次関数の接線の傾きが出てきます。その傾きを表す関数が導関数です。導関数を出すと、xの任意の場所での関数の傾きがわかるので、どんなグラフでも形を描くことができます。
・微分と積分の違い
上の導関数の説明の中に微分が入っていますので、みてしてください。
積分は、形式的には、微分の逆になります。わかりやすい例でいうと、中３の運動の所で、記録タイマーの短冊を貼り付けた、縦軸に速さ、横軸に時間をとったグラフが出てきます。このグラフは、縦が速さを表していますが、幅が大きいため、階段型になっており正確な速さグラフにはなっていません。「そこで短冊の幅をドンドン細くしていくと、短冊の縦の長さが、本当のグラフの縦の値に近づいていきます。こうした短冊の面積は、縦×横＝速さ×時間＝距離より、その瞬間の移動距離を表します。よって、これらの無数の短冊を集めた物は、結局、グラフの下の面積全部になります。これが物体の全部の移動距離になります。」このように、グラフを縦に細かく切っていき、それを全部集める操作が積分といってもいいでしょう。

お礼

そういうことなのですか--。
少し分かりましたが, 理論は難しそうですね。

回答No.1

Lokapala

>・ベクトルとスカラーの違い
ベクトルは方向と大きさを持ち、スカラーは大きさのみを持つ。

>・導関数
ある関数を微分することによって求められる関数のこと。

>・微分と積分の違い
微分と積分は逆の行為と思ってもらって大丈夫だと思います。正確には違いますが、ある関数を微分するということは、その関数の傾きを求めることで、ある関数を積分するということは、その関数とｘ軸によって作られる図形の面積を求めることだと説明されることが多いです。ある関数に積分をしてそのあと微分をするともとの関数に戻ります。微分した後に積分をすると、もとの関数をｙ軸方向にのみ平行移動した関数になります。

お礼

関数の傾きという意味がちょっと分からないんですが, それが導関数なのでしょうか？