数学の問題（高校レベル）

質問

問　２次不等式２x２＋（４－７a）x＋a（３a－２）＜０の解がちょうど３個の整数を含むとき、正の定数aの値の範囲を求めよ。

たすき掛けをして
（２x－a）（x－３a＋２）＜０
場合わけをして
a＞4/5のとき　1/2a＜x＜３a－２
a＝4/5のとき　解なし
０＜a＜4/5のとき　３a－２＜x＜1/2a

ここから全くわかりません。。。
どなたか解き方を教えて下さい！お願いします！！

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

別に質問者は方針なんか書いてない。普通に不等式を解いてるだけで、それ自体は正しい。
この種の問題は考えにくいようで、良く数直線を使って考えろ、という発言を目にするがそれ程簡単ではない。
いつも言うことだが、座標を使えば視覚的にもミスを防げる。

y＝aとすると、条件式は　（y-2x）*（3y-x-2）＜0であるから、y-2x＞0、3y-x-2＜0、or、y-2x＜0、3y-x-2＞0である。
これをxy平面上に図示すると、a＞0という条件からy＞0であるから、境界線：y-2x＝0と3y-x-2＝0との交点が点（2/5、4/5）であるから、第1象限の　y-2x＜0、3y-x-2＞0　‥‥(1)　だけを考えると良い。
xの整数値を1～5まで書いていくと、x＝5の時はy＝7/3、x＝1の時はy＝5/3。
つまり、y＝aを上下に動かしていくと、(1)の範囲でxの整数値が2個であるのはa＝5/3.
又、(1)の範囲でxの整数値が3個になる限界は　y＝a＝7/3　である事が座標からわかる。
注意しなければならないのは、y＝a＝2の時は、(1)の範囲でxの整数値が2個である事。
以上から、5/3＜a＜2、2＜a≦7/3.

お礼

ご回答ありがとうございます！
よくわかりました！
ありがとうございました！

回答No.4

kumipapa

確かに結構いやらしい。

0＜a＜4/5 のとき 3a - 2 ＜ x ＜ a/2 なれど、-2 ＜ 3a - 2, a/2 ＜ 2/5 より、3a - 2 ＜ x ＜ a/2 が 3個の整数解を含むことはない。

a ＞ 4/5 のとき、3a - 2 より小さな最大の整数を n とすると、n = 3a - 2 - β　(ただし 0 ＜ β ≦ 1）とおけて、a について解くと、a = (n + 2 + β)/3
ここで、n - 3 ≦ a/2 ＜ n - 2 が成立すれば 3 つの整数解を持つから、これに a = (n + 2 + β)/3　を代入して n について解くと、(14 + β)/5 ＜ n ≦ 4 + (β/5)
0 ＜ β ≦ 1 でこれを満たす整数 n は 3 と 4

n = 3 のとき）
3 ＜ 3a - 2 ≦ 4　　⇔　5/3 ＜ a ≦ 2　・・・(1)
0 ≦ a/2 ＜ 1　　⇔　0 ≦ a ＜ 2　・・・(2)
(1)かつ(2)かつ a ＞ 4/5 を満たす a は　5/3 ＜ a ＜ 2

n = 4 のとき）
4 ＜ 3a - 2 ≦ 5　　⇔　2 ＜ a ≦ 7/3　・・・(3)
1 ≦ a/2 ＜ 2　　⇔　2 ≦ a ＜ 4　・・・(4)
(3)かつ(4)かつ a ＞ 4/5 を満たす a は　2 ＜ a ≦ 7/3

以上より、5/3 ＜ a ＜ 2, 2 ＜ a ≦ 7/3 で 3 つの整数解を持つ。

うーん、いまいち・・・。やはり座標を使うのが賢明か。

お礼

このようにも求められるのですね！！
数学は奥が深いです。。。。
ご回答ありがとうございました！

回答No.2

info22

> a＞4/5のとき　a/2<x<3a-2　…（◆）
(◆）を満たす整数のxが3個となるのは
y=左辺のグラフを描いて
5/3<a<7/3　ただし,a≠2
と求まる。
> a<4/5のとき 3a-2<x<a/2　…（■）
(■）を満たす整数のxが3個となるのは
y=左辺のグラフを描いて
-2/3≦a<-1/3
と求まる。

検証）aの範囲の境界値のときのグラフを描いてチェックしてみて下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます！
感謝してます！！

回答No.1

opechorse

方針が違いますね
これは
最終的には
(X-α)^2-β^2＞0
α-β<X<α+β
という風に変形して
エックスの範囲を特定
α・βとaとの関係を求めます
要はグラフを書いてその上側はどの範囲という絞込みです
とりあえず計算しないで方針だけ書きますね

お礼

僕が使いたい解き方とは違うみたいです。。。
でもそのような解き方もあるのですね？
ありがとうございました！